bonjour je dois montrer que la série de terme général :

Vn = S(n*pi à (n+1)*pi) (sin x / x) dx est convergente. (intégrale de n*pi à (n+1)*pi , où n est un entier positif non nul.

si je pose f(t) = sin t / t , je l'ai encadré et I f(t) I < 1/t,
donc en passant à l'intégrale je trouve que Vn < ln (1 + 1/n) et en faisait un DL on trouve que c'est égale à 1/n + (1/2)(1/n^2) + o(1/n^2) , mais 1/n diverge, donc c'est faux.
Si quelqu'un aurait une petite piste pour m'aider.

• mais la série des 1/n diverge

Essaie plutôt de majorer |V_n + V_(n+1)| en faisant un changement de variable dans la deuxième intégrale pour la ramener sur le domaine de la première

J'ai pas compris pourquoi tu veux que je majore Vn+1 + Vn.
Je pense qu'on peut le faire avec le critère des séries alternées, mais je vois pas trop comment je peux écrire Vn = (-1)^n * Un

C'est facile de montrer que la série est alternée.
x -> sin(x) est de signe constant sur les intervalles de type ]npi ; (n+1)pi[. Et ça change de signe à chaque fois, donc l'intégrale aussi (vu que x > 0).

South_Killer Je suis tout à fait d'accord avec toi, mais mon problème n'est pas là. Pour appliquer le critère des séries alternées je dois écrire Vn sous la forme (-1)^n * Un où Un est positive et tend vers O.

Et je vois pas comment je peux faire ça.

Ah oui avec le critère des séries alternées c'est beaucoup plus simple en effet

Vn = (-1)^n*(intégrale de n*pi à (n+1)*pi de |sin(x)|/x dx)

Un = |Vn|

Et |Vn| = |int(npi; (n+1)pi; sin(x)/x dx)|
< int(npi; (n+1)pi; |sin(x)/x dx|)
< pi * 1/[ n*pi ] (*)
= 1/n qui tend vers 0

(*) tu utilises:
int(a,b, f(t)dt) < (b-a)*sup(f / [a,b] )

Et si je me rappelle bien, il doit y avoir un critère de décroissance aussi.

South_Killer

C'est ce que j'ai mis dans mon premier post, j'avais trouvé que I Vn I < 1/n + (1/2)(1/n^2) + o(1/n^2), si je fais à l'odre 1 je trouve que I Vn I < 1/n et tend vers O.

Ah mais c'est bon en fait il me reste à montrer que IVn+1I < IVnI.
Merci pour votre aide.