Salut,

Je suis bloqué dans un exercice de mon DM . Le sujet : http://s3.noelshack.com/old/up/sans_titre-b9da384069.jpg .
Je ne vois pas comment montrer que (un+1)/(un) < 5/6

Merci !

Je pense que c'est : Montrer que Un+1/Un =< 5/6 à partir d'un certain rang (même rang n=5) =)
Ça t'aide ?

u_(n+1) = 5^(n+1)/(n+1)!
1/(u_n) = n!*5^(-n)
(u_(n+1))/(u_n)
= n!*5^(-n)*5^(n+1)/(n+1)!
= 5/(n+1)
Et ce truc est inférieur ou égal à 5/6 si 1/(n+1) est inférieur ou égal à 6.

Ok ça marche j'ai réussi . En revanche pour en déduire la dernière inégalité j'ai du mal .

Une bonne vieille récurrence à partir du rang n=5 .. =)

Que veux-tu dire par récurrence ?
Là je vois pas du tout .

Tu ne connais pas la récurrence ?
Initialisation + hérédité ?

Je connais mais je ne vois pas du tout comment l'appliquer dans ce cas là .
J'essaye ta solution Tos-best.

Je vois pas trop d'où sort l'exposant n-5 et le u5 derrière .

Ah si l'exposant n-5 je vois c'est parce qu'on multiplie tout les n sauf les 5 premiers par contre pour le u5 derrière je vois toujours pas .

Comment l'appliquer ?

Ini : Au rang n = 5 => 0 =< U5 =< ((5/6)^0)U5 = U5 OK
Hér : Supposons pour n fixé =< 5 que 0 =< Un =< ((5/6)^n-5)*U5
Alors vu que Un+1/Un =< 5/6 (car n =< 5)
=> Un+1 =< (5/6)Un =< (5/6)((5/6)^n-5)*U5 = ((5/6)^((n+1)-5))*U5

Ini + Hérédité

=> Propriété vraie pour tout n =< 5

C'est pour tout n >= 5 non ?

Tout à fait. =)

D'ailleurs c'est aussi dans le raisonnement :
pour n fixé >= 5
(car n >= 5)

XD A vouloir répondre trop vite ... XD

Ok ça marche je pense avoir pigé le truc. Merci, bonne soirée !

You're welcome. =)