Salut à tous
J'ai un dernier exo à faire sur les récurrences, mais j'ai beaucoup de mal à le faire...

• Soit f la fonction définie sur ]2;+infini[ par f(x)=(2x+1)/(x-2)

En notant f^(n) la dérivée n-ième de la fonction f, démontrer que pour tout n appartient à N*
f^(n)(x) = 5*(-1)^n * (n!/(x-2)^(n+1))

Bon je sais que l'écriture informatique n'est pas du tout pratique...
J'ai commencé l'initialisation, et ça ne marche pas, je trouve, pour n=1,
d'un côté f'(x)= (2x-9)/(x^2-4x+4)
De l'autre côté f'(x)= (-5x+11)/(x^2-4x+4)

La prof nous a dit de ne pas faire attention au "!", et je ne l'ai pas vu en cours je sais pas ce que c'est :/

Donc voilà si vous avez une idée aidez moi svp

T'as dû te tromper en dérivant. Dans les deux cas on trouve -5/(x-2)².

n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1.

Bizarre de pas vous l'avoir dit, ça se devine pas...
n! = factorielle n = produit de 1 à n = 1*2*3*4*...*n

J'ai trouvé pour le premer cas: f'(x)= -5/(x-2)^2 donc là c'est bon Mythe.

Par contre, je ne vois pas pur la deuxième, la factorielle ne changeant rien à priori. Voici mes calculs:
f'(x)= 5*(-1)^1*(1/(x-2)^(1+1)) = -5*(1/(x-2)^2) = (-5(x-2)+1)/((x-2)^2) = (-5x+11)/((x-2)^2)

Où est mon erreur ?

Oula j'ai trouvé mon erreur, j'ai multiplié 5 par (x-2) alors que c'était inutile, et faux de surcoit.

Donc je vais faire l'hérédité, mais je ne vois pas trop par où commencer, une idée ?

Aucune idée pour le début de l'hérédité ?

Ben tu montres que ça marche au rang 1,et après tu dérives cette expression :
f^(n)(x) = 5*(-1)^n * (n!/(x-2)^(n+1))

et tu devrais tomber sur ça :
f^(n+1)(x) = 5*(-1)^n+1 * (n+1!/(x-2)^(n+2))