Bonsoir, j'ai un DM à rendre et j'ai quelques soucis :

Exercice 1 :

Soit k un entier naturel. On considère a=6k+5 et b=8k+3 Démontrer qu'il existe au plus deux diviseurs positifs communs à a et b

Pour cet exercice j'ai supposé c un diviseur commun à a et b et donc que c divise toutes les combinaisons linéaires de a et b et j'en suis arrivé à c divise 22
J'ai constaté que les diviseurs de 22 étaient 1;2;11;22.
Et après je ne sais pas quoi faire

Exercice 2 :

C'est bon

Exercice 3 :

C'est bon

Exercice 4 :

Soit n un entier naturel
Déterminer la ou les valeurs de n pour lesquelles n²-12n-28 est un nombre premier

Pour celui là je n'ai aucune idée de comment m'y prendre

Exercice 5 :

Pour quel(s) nombre(s) premier(s) p l'entier naturel 7p+1 est-il un carré parfait ?

Pour cet exercice je suis parti de l'équation 7p+1 = n² et j'ai isolé p et ça me donne p = ( n²-1 ) /7
Ensuite je ne sais pas comment faire

Voila, merci d'avance mais je précise que je ne veux pas les réponses, juste des pistes de réflexions.

Personne ?

"Exercice 2 :
C'est bon
Exercice 3 :
C'est bon"

On s'en branle alors, ne mets pas ça.

Pour le 1, c divise a et c divise b => c divise 4a-3b.
Fais ça et ça ira mieux.

Tu as essayé de calculer PGCD(a,b), pour l'exercice 1 ?
Pour l'exercice 4, cela veut dire que n²-12n-28 est divisible par 1 et lui-même. Réfléchis dans ce sens.
Pour le dernier, je n'ai pas trop d'idées...
7p+1 = n² => n²-1 = 7p => (n+1)(n-1) = 7p
p étant premier, p divise x € {-p,p,-1,1}...
Mais bon, après, je n'ai pas d'idées...

Morphisme Comment tu as fais pour arriver à la conclusion que c divise 4a-3b ? Sinon j'ai essayé et j'en suis arrivé au fait que c divise 11. Or 11 étant un nombre premier, il n'y a que 2 diviseurs possible, c'est ça ?

Yagaku Je ne comprend pas trop où tu veux en venir pour l'exercice 4. Cela veut dire que 1 divise n²-12n-28 et n²-12n-28 divise n²-12n-28 mais je n'arrive pas à avancer après

Si c divise a et b, il divise toute combinaison linéaire, tu l'as dit toi même ...
Donc c divise 4a - 3b

Ah oui c'est vrai xD Sinon la fin de mon raisonnement est bonne ?
Et tu saurais comment t'y prendre pour les autres exos ?

n²-12n-28 = n²-12n+36-64 = (n-6)²-8² = (n-14)(n+2)
Et ce truc doit être un nombre premier... o.O

J'ai vraiment aucune idée de comment faire xD Les exos 4 et 5 je ne vois pas du tout ...

Pour les exos 4 et 5, les posts de Yagaku pourraient t'aider un peu

Pour l'exo 4 il faut que je trouve la ou les valeur(s) de n pour lesquelles (n-14)(n+2) n'est divisible que par 1 et par lui même ,c'est ça ? Humm je ne vois pas du tout comment faire ..

n = 15 peut-être ?

Ah oui ça marche mais comment le montrer ??

Comment montrer quoi ?

Montrer que (n+14)(n+2)est premier pour n = 15 ...
Je vais pas essayer des valeurs à taton jusqu'à trouver la bonne ^^ Il doit bien y avoir un moyen de trouver toutes les valeurs, non ?

Repartons du début.
Tu cherches n tel que n²-12n-28 soit premier
Or tu sais que n²-12n-28 = n²-12n+36-64 = (n-6)²-8² = (n-14)(n+2) [Merci Yagaku]
Donc pour que ce soit premier il FAUT que n-14 ou n+2 soit égal à 1
D'où le n = 15 ...
Et tu peux vérifier en remplacant n par 15 .. ca donne 17 et c'est bien premier ...

Je comprend pas trop ton raisonnement, pourquoi il faut que n-14 ou n+2 soit égal à 1 ? Tu peux m'expliquer stp

Bah, vu que c'est un nombre premier, il ne doit pas s'écrire sous la forme d'un produit de deux nombres premier ou plus. Donc forcément, l'un des facteurs est égal à 1.

Ah oui j'ai compris merci les gars
Pour l'exercice 5 si personne n'a d'idée ce n'est pas grave je demanderai à la prof ;)