Bonjour.

J'aimerai trouver quelqu'un qui aurait l'amabilité d'essayer de me résoudre :

" Prouver que pour tout entier naturel n : 10^(2n) - 1 est un multiple de 11 "

Avec la méthode de récurrence ce serait vraiment sympa de votre part, j'ai vraiment du mal.

Bon ok j'me suis un peu embrouillé dans la balise, ce serait plutot TS Spé Maths mais bon.

Sinon :
10 = -1 mod 11
<=> 10² = 1 mod 11
<=> 10^(2n) = 1^(2n) = 1 mod 11
<=> 10^(2n) -1 = 0 mod 11
CQFD.

Après, si tu veux faire la technique de l'identité remarquable, ça donne ça :
10^(2n) -1
= (10^n +1)(10^n -1)
= (10+1)(10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 1)(10^n -1)
= 11*(10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 1)(10^n -1)
CQFD, again.

C'est marrant les congruences quand même, on fait un petit tour et on revient quoi

J'avoue. Ça a l'air plus marrant avec les classes d'équivalence, cher Class.

J'ai remarqué que personne n'a lu qu'il fallait démontrer ca par récurrence .. super les aides !!!

Donc :

Initialisation : n=0 => 10^(2n) - 1 = 0 est bien multiple de 11 (0*11)

Récurrence : On admet que 10^(2n) - 1 est divisible par 11 pour un n donné.
On regarde 10^(2n+1) - 1
On remarque que c'est égal à 10 * (10^(2n) - 1) + 11
Or 10^(2n) - 1 est divisible par 11 (hypothèse de récurrence) et 11 est bien évidemment aussi divisible par 11
Donc le tout est divisible par 11

Initialisation et récurrence ok.
cqfd.

fan ff tu as fait 2 erreurs

On regarde 10^(2n+2) - 1
et 10^(2n+2) - 1 = 100(10^(2n) - 1) + 99

Exact, bête précipitation. =)
Ca n'en reste pas moins une seule erreur ... ^^
Le raisonnement reste correct puisque la divisibilité par 11 est toujours vraie.

2e erreur On regarde 10^(2n+1) - 1
On remarque que c'est égal à 10 * (10^(2n) - 1) + 11

Et ? C'est bien égal ...
La seule erreur est qu'il ne faut pas regarder 10^(2n+1) mais bel et bien 10^(2(n+1))

bah pour moi -10 + 11 ça fait 1

Un prof serait vraiment assez con pour reprocher à un élève de ne pas utiliser de récurrence alors que sa preuve est plus rapide qu'une preuve par récurrence ?

Si le prof fait cours sur la récurrence et n'attend qu'un raisonnement par récurrence ... oui
J'en ai déjà eu des exemples.

Yagaku, c'est pas plus marrant, c'est strictement la même chose. Quand on travaille avec les congruences on travaille avec des classes d'equivalence (classes de congruence même), sauf que les profs de terminale ne le disent pas.

Prauron, je sais que c'est la même chose. On a vu ça en première. Mon post était pour déconner. C'était pour trouver un moyen de foutre le pseudo de ClassX en parlant des congruences.

Merci d'avoir expliqué ta tentative d'humour en tout cas, j'avais pas remarqué

(10^n +1)
= (10+1)(10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 1)

c'est quoi cette identité remarquable là?

J'avoue que c'est une erreur bête.
Je corrige :
10^n +1 = (10+1)*(Sum (10^(n-1-k))*(-1)^k ; k = 0 to n-1)
Sauf qu'il faut que n soit impair. :/

Morphisme De rien.