Bonjour à tous,

Alors voilà j'ai un DM à faire concernant la méthode de Cardan mais dès la première question je bloque

On considère l'équation polynomiale: x^3 + ax² + bx + c = 0

1. On pose x=y+alpha. Comment choisir alpha pour que y soit solution d'une équation polynomiale du type:
y^3 + py + q = 0.

J'ai remplacé x par y+alpha dans la première équation mais je n'arrive à rien, une idée de quelqu'un

Tu choisis alpha pour qu'il annule le coefficient en y²

Euh, j'obtients ca en développant:

(y+alpha)^3 + a(y+alpha)² + b(y+alpha) + c = 0

y^3 + 3y.alpha² + 3y².alpha + alpha^3 + a(y²+2y.alpha + alpha²) + by + b.alpha + c = 0

A partir de là je ne vois pas trop comment annuler le coefficient en y², tu pourrais m'aider

Il y a (3alpha+a)y², donc il te faut alpha=-a/3

Regroupe tous les termes en y², ça te donne (3*alpha+a)y². Et là tu choisis alpha qui annule cette expression

Ok, ok je vois, donc alpha= -a/3 merci

J'ai vraiment du mal avec ce DM (il faut dire que je m'y prends tard aussi )
Dans la deuxième question on me demande de:

2. Justifier que pour tout nombre complexe B et P il existe deux nombres complexex u, v tels que:
/u+v = B
-
\u.v = P

En sachant que dans l'énoncé on note j le nombre complexe exp(2ipi/3).

Je ne vois pas par ou commencer vu que je n'ai pas d'équation qui ce rapporte à ces inconnues.

Vous en pensez quoi

Je me contente de dire que la somme d'une nombre complexe est un complexe, idem pour le produit

Un peu bizarre non

/u+v = B
-
\u.v = P

What is this shit, dude ?

J'ai essayé de représenter un système

Je vois, tu as oublié les résultats classiques du cours sur les polynômes, coquinou

J'ai comme l'impression qu'on se moque de moi pour une raison qui m'échappe, vous m'éclairez

Qu'ai-je oublié ?

Je développe en remplaçant z par a+ib ou je laisse z

Ca me fait:

z²-zv-uz+uv, je vois rien d'évident ...

Je suis vraiment con ou ... ?

Euh, je ne vois pas vraiment là

Désolè, je suis pas très en forme, mais là je bloque carrément

Je vois bien que je retrouve dans la deuxième équation les éléments de mon système et que donc il existe bien deux nc. tels que u+v = B et uv=P mais c'est suffisant

Quelqu'un pour m'éclairer

En fait, je vois que:

z² - B.z + P = z² - (u+v).z +u.v donc le système est vérifié et j'ai bien deux nombres complexes, c'est ca