Bonjour à tous.

On me donne la fonction f : x |-> (3/5)x + (4/5)sqrt(|4-x²|) à étudier.

Son domaine de dérivabilité existe pour |4-x²| > 0 car la fonction qui à x associe sqrt(x) est dérivable sur IR+*.
|4-x²| > 0 <=> x € IR - { -2 ; 2 }.

J'en conclus que f est dérivable sur IR - { -2 ; 2 }.

Evidemment on me demande également d'étudier la dérivabilité en -2 et 2.

Je suis donc obligé d'étudier [f(x) - f(-2)] / [x+2] et [f(x) - f(2)] / [x-2].

Mais j'arrive à une FI (comme à l'accoutumée) avec laquelle je n'arrive à rien faire...

[(3/5)x + (4/5)sqrt(|4-x²| - (6/5)] / [x+2].

Je n'arrive plus à avancer à partir d'ici... Un conseil ? Merci.

Quelle classe ? T'as vu les développements limités ?

MPSI, c'est la première semaine alors pour l'instant ce n'est que du programme de terminale " renforcé " et plus rigoureux.

Je n'ai pas vu ce théorème TOS-best, mais est-il démontrable... ? Je pourrais éventuellement m'en servir m'enfin si je ne l'ai pas vu en cours je ne suis pas censé m'en servir. ^^

En ces deux points de la courbe d'abscisse -2 et 2, il y a un pic, donc je sais pertinemment que f n'est pas dérivable en ces points. Peut-être essayer de prouver qu'elles ne le sont pas ? Parce que ce n'est pas ne rien savoir faire d'une FI du taux d'accroissement en un point qui prouve qu'une fonction n'est pas dérivable...

C'est tout con en fait, tu peux simplement dire que sqrt n'est pas dérivable en 0 et que ça implique que ta fonction n'est pas dérivable en -2 et en 2.

Y'a pas de x*sqrt(x) dans son expression.

Il me suffit donc de conclure que f est dérivable sur IR - { -2 ; 2 } et non dérivable en -2 et 2 ? Car le prof nous a donné plusieurs consignes, parmi elles " étudier la dérivabilité de f, puis celle en -2 et 2 "...

Non mais faut un peu rédiger. Tu remarques que la dérivabilité de ta fonction en -2 et 2 est équivalente à la dérivabilité de sqrt(|4-x²|) en ces points.
La dérivabilité en l'un de ces deux points est d'ailleurs équivalente à celle en l'autre de ces points, donc on peut se réduire au cas x=2.
Après on peut par exemple étudier la limite à droite du taux d'accroissement en 2 :
limite quand h tend vers 0 de sqrt(4h+h²)/h
Le terme est égal à sqrt(4+h)/sqrt(h) qui diverge quand h tend vers 0, donc ta fonction n'est pas dérivable.

"tu ne peux pas dire que parce que sqrt(x) n'est pas dérivable en 0, que sqrt(f(x)) ou g(x)*sqrt(x) n'est pas dérivable en 0..."

Ca tombe bien, je ne l'ai pas dit

D'accord, merci Morphisme pour ce paragraphe, je n'avais pas songé à utiliser cette formule du taux d'accroissement !

Je ne comprends pas comment tu passes de sqrt(x²-4) à un taux d'accroissement égal à sqrt(4h+h²)/h...

[f(2+h) - f(2)] / h
= [sqrt[(2+h)²-4] - 0] / h
= sqrt(h²-2h) / h
= (h²-2h)^1/2 / (h²)^1/2
= [(h²-2h)] / h²]^1/2
= (1-2/h)^1/2