Bonjour à tous,

Voila j'ai un exo pour demain et je sais pas comment m'y prendre.

"
On a E un K-ev
On a F et G deux SEV de E.

Donner une condition nécess & suffis sur F et G pour que F (union) G soit un SEV de E."

SEV = Sous espace vectoriel

Une astuce pour débuter ? Un début de raisonnement ? Quelque chose ?

Merci.

Je pense qu'il faut que l'un soit inclus dans l'autre.

C'est ce que j'ai pensé aussi ... le problème est au niveau de la justification u_u

Supposons qu'aucun des deux ne soit inclus dans l'autre

alors il existe x et y tel que

x appartient à F
x appartient pas à G

y appartient à G
y appartient pas à F

x+y n'appartient pas a F (car sinon, (x+y) - x appartiendrait a F)

x+y n'appartient pas a G

donc F u G n'est pas un sev

(car sinon, (x+y) - x appartiendrait a F)

=> Pourquoi cela ??

Si x € F et Z € F alors z-x € F

remplace z par x+y

Ah, je vois, donc :

x+y n'appartient pas a F (car sinon, (x+y) - x appartiendrait a F)

x+y n'appartient pas a G

Donc x+y n'appartient pas à F u G,

Or x appartient à F donc à F u G
Et y appartient à G donc à F u G
donc F u G n'est pas un sev

C'est cela ?

Par contre, comment faire l'autre sens ?
Celui qui parait simple mais qui du coup est dur ..

L'autre sens?

Là tu as démontré F U G sev =>(F inclus dans G) OU (G inclus dans F)

L'implication dans l'autre sens est immédiate puisque F inclus dans G => F U G = G qui est un sev

En effet ...
Les notations U (unions) et intersections me font perdre ce qu'elles signifient simplement ..
Pourtant maintenant c'est évident.

Merci !