x, y et z étant des naturels non nuls, on considère l'équation x^n + y^n = z^n.

On sait qu'il existe des solutions pour n=1 ou 2; et qu'il n'y en a pas pour n entier supérieur à 2 (ainsi que pour n=0)

S'est-on intéressé au cas où n n'était pas un naturel?

Pour ce qui est des relatifs, il y a forcément des solutions.
Par exemple 2^(-n) + 2^(-n) = 2^(-n+1).

Quand n est l'inverse d'un entier, il y a en aussi logiquement. Par exemple, sqrt(4)+sqrt(4)=sqrt(16)

Mais je ne sais pas ce qu'il en est pour des n plus généralement réels.

On prend x = 17, y = 12 et z = 52

L'application f définie par f(x) = 52^x - 12^x - 17^x vérifie

f(0) = -1
f -> +oo quand x -> +oo
f est continue

Donc le TVI donne l'existence de c réel tel que f(c) = 0

D'accord, mais on prouve juste si si x+y<z alors il existe forcément un n tel que x^n + y^n = z^n.

Ce qui m'intéresserait est la nature de ce n

J'en sais rien je comprends pas ton problème

mais si on considère 10^x + 10^x = 630^x

2*10^x = 630^x
63^x = 2 et x = ln(2)/ln(63) qui n'est ni entier ni même rationnel

De manière condensée:

savoir quand est-ce qu'il existe des triplets (x,y,z) entiers naturels non nuls solutions de l'équations x^n + y^n = z^n en fonction de n ?
Est-ce que c'est seulement quand n est un entier supérieur strictement à 2 qu'il n'en existe pas?

Est-ce que c'est seulement quand n est un entier supérieur strictement à 2 qu'il n'en existe pas?

Si n est naturel, le max est 2.
Si n est relatif, 'sais pas.
Si n est réel mais non naturel/relatif, aucune idée.

Ce que les autres ont compris, c'est que si tu fixes le triplet, évidemment il existe un n pas forcément entier qui vérifie le problème.
Par contre, quand n est fixé et qu'il faut déterminer ce triplet, si n est réel non entier, je pense qu'il peut exister des solutions, mais il faudrait le montrer proprement.