Voilà on considère un jeu d'argent.
On commence avec une somme donnée.
A chaque "partie", on a 51% de chances de gagner 1€, 20% de chances de perdre 1€. Si on arrive à un montant de 0€, on ne peut plus jouer.

Si on répète ce jeu une infinité de fois, est-ce qu'on finira toujours par arriver à 0 ? Ou alors est-ce qu'avec une somme de départ assez élevée, le montant va forcément tendre vers l'infini ?

Je ne sais même pas si la question a vraiment une réponse Mais j'avais lu un truc de proba avec une qui se déplaçait au hasard de proche en proche sur une droite/plan/espace (Avec des coordonnées entières, je sais pas si vous voyez ce que je veux dire. Elle part de l'origine et à chaque étape elle avance ou recule dans une direction au hasard).
Sur une droite ou un plan, elle repasse une infinité de fois en chaque point. Mais dans l'espace, elle s'éloigne à l'infini de son point de départ sans y revenir.

Euh j'ai dit de la merde au début
51% de chances de gagner, 49% de perdre.

Y a rien de forcé en probabilité ..
même si on a 10^777 euros en poche il est possible qu'on arrive à retomber à zéro sans jamais gagner.

Sinon tu parles du mouvement brownien ou des trucs du genre, non ? :$

Oui, il est toujours possible d'arriver à 0, c'est pas la question.

Le truc, c'est le fait de faire une infinité d'étapes.
Est-ce que quelle que soit la somme de départ et la probabilité de gagner/perdre, on finira toujours par arriver à 0 en répétant le jeu un nombre suffisant de fois ?
Ou alors la somme d'argent peut "tendre vers l'infini" ?

C'est une marche aléatoire, tu peux pas vraiment prédire ce qui va se passer. Par contre il est "presque certain" qu'au bout d'un moment tu vas revenir à zéro.

"Ou alors la somme d'argent peut "tendre vers l'infini" ? "

C'est pas parce que la somme d'argent n'atteint jamais 0 qu'elle tend forcément vers l'infini.
Quand tu dis "la somme d'argent peut tendre vers l'infini", tu veux dire "c'est un événement possible" ou "l

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ou "la proba pour que ça arrive est non nulle" ?

Dans le premier cas, je dirais oui, il "suffit" de ne jamais perdre.
Par contre est-ce que la proba de cet événement est non nulle, et est-ce qu'elle dépend des paramètres, j'en sais rien.

Je vois mal quelle distinction tu fais entre "évènement possible" et "proba non-nulle".
Pour moi, "Ne jamais perdre" est impossible, puisque ça ferait du (51/100) avec une puissance qui tend vers l'infini...

Enfin pour moi ça paraîtrait logique qu'on retombe TOUJOURS sur 0 au bout d'un moment, même si on part de 10^100 jetons et qu'on a 99% de chances de gagner. Mais je ne sais pas si c'est vraiment le cas ni si ça peut se prouver

C'est pas parce qu'un événement a une probabilité nulle qu'il est impossible.
Un événement c'est une sous-partie de l'univers Omega. L'événement impossible c'est l'ensemble vide, mais il n'y a pas que lui qui a une mesure de proba nulle.
Par exemple on choisit un nombre aléatoirement entre 0 et 1 (en supposant que ça suit une loi uniforme). Pour chaque nombre, la probabilité de le choisir est 0, et pourtant aucun d'entre eux n'est impossible à choisir.
Ici c'est pareil, ne jamais perdre c'est pas un événement impossible, mais il se peut que la probabilité de cet événement soit nulle.

Moi ça ne me paraît pas si logique que ça, et de toute manière il faut se méfier de ce qui paraît intuitif. En tout cas que ça soit vrai ou pas, ça doit se prouver

M'oui je suis d'accord pour que que tu dis au début, même si c'est jouer sur le vocabulaire... Parlons plutôt de probabilité non nulle alors si tu préfères.

Mais bon comme l'a dit dit xxacydburnxx c'est en fait juste une marche aléatoire, même si le problème est posé différemment. Je l'ai mentionné dans mon premier post car ça me paraissait vaguement s'y rapporter mais je devais être un peu fatigué car c'est juste exactement le même problème, on favorise juste l'avancée dans une direction plutôt que l'autre.

Oui.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Marche_al%C3%A9atoire#Marche_al.C3.A9atoire_discr.C3.A8te_.C3.A0_une_dimension

Enfin c'est pas tout à fait ça, là t'es sur N.

Ça revient au même, on peut se placer sur Z et ce qu'on cherche à savoir c'est juste la probabilité de passer par 0.

J'ai trouvé des sites sur des marches aléatoires infinies, en fait si on a une probabilité plus grande dans une direction ça diverge, et si on a 1/2 dans les deux on repasse une infinité de fois par chaque point.
Donc adapté au jeu d'argent, si on a une proba < 50% de gagner, on retombe à 0. (ça, c'était évident)
Si on a une proba = 50%, on retombe aussi toujours à 0, quelles que soient les conditions initiales (c'est assez intuitif aussi...)
Par contre avec une proba > 50%, ce qui correspond à ma question, la somme d'argent tend vers l'infini, en passant ou non par 0. On doit pouvoir trouver la probabilité de passer par 0 et celle de diverger en fonction des conditions initiales, mais bon j'ai la flemme de faire le calcul :o)