Bonsoir, je sais comment on montre que 2 espaces sont supplémentaires mais dans l'exercice je ne comprends pas comment il font pour montrer que l'intersection est nulle (voir l'encadré en rouge). Pour quoi x=t et z=0 et d'où sorte le alpha et le bêta

http://s3.noelshack.com/upload/13584392664876_sans_titre.jpg

La matrice associée à f², c'est A².

Donc en notant X = (x,y,z,t), on a f²(x,y,z,t) = 0 <=> AX = 0.
En résolvant le système, on obtient x = t et z = 0.

Pour Im(f²), c'est pareil, il faut regarder Im(A²).
Vu la forme de A², on voit que c'est de rang 2, donc que son image est de dimension 2.
Avec la "forme" de A², on voit que son image est Vect((0,1,0,1),(0,0,1,0)). (si tu trouves pas que c'est évident, tu peux le redémontrer).

Ainsi, on a Ker(f²) et Im(f²).
Donc les vecteurs ds l'intersections sont à la fois ds Kerf² et ds Imf².

Okay, et pourquoi c'est bêta=0 qui définit x=t et pas alpha=0 par exemple ?

Moi j'ai plus simple, si la matrice A² est diagonalisable alors les deux sous espaces propres de A² sont supplémentaires orthogonaux or les vecteurs colonnes de A² forment une famille génératrices de A² et sont combinaison linéaires des deux vecteurs (0,0,1,0) et (0,1,0,1) qui font ainsi une base de Im(A²) mais sont aussi des vecteurs propres associés a la vp 2.
Donc R^4=E0 +E2 = Kerf + Imf CQFD

J'aime ton raisonnement FatalET, merci