Bonsoir ,

J'ai un partiel de calcul différentiel demain et je suis confronté à une petite difficulté lorsqu'il s'agit de dériver des fonctions dans l'espace des vecteurs ou des matrices.

Un exemple:

Soit f(X)=II A*X*B II² (les "II" désignent les deux barres d'une norme ) avec A,X,B des matrices telles que A*X*B existe.

En dérivant par rapport à X,qu'obtiens-je?

2*A'*B'*II A*X*B II ?

En gros je ne sais pas dans quels cas on doit passer à la transposée...

Merci d'avance,dans l'espoir d'une réponse rapide

Tu ne peux pas juste "dériver" une application de Mn(K) dans R, faut que tu cherches la différentielle.

T'as pas d'autre indication sur la norme matricielle dont il s'agit ?

Je crois savoir comment t'as obtenu 2*A'*B'*II A*X*B II mais ça n'a pas de sens. C'est quoi A' et B' ? Là, A et B sont deux matrices fixées.

Et que veux-tu dire par "passer à la transposée" ?

Dans ces cas-là, il faut revenir à la définition de la différentielle.
Tu calcules f(X+H) et tu essaies de mettre en évidence une forme du type f(X)+<df(X),H>+terme de l'ordre de ||H||². Ce que j'ai écrit est par contre valable juste si f est à valeurs dans R, si l'espace d'arrivée est de plus grande dimension, c'est plus compliqué.

C'est pas tellement plus compliqué dans le cas général, au lieu que df_X soit une forme linéaire c'est une application linéaire continue, c'est tout.

Ouais mais c'est carrément plus chiant à expliciter.

En fait j'ai voulu utilisé un autre exemple que celui auquel je suis confronté et aie fini par raconter des âneries .

Je sais tout à fait calculer une différentielle en gardant la partie linéaire de F(X+H) ou en utilisant F(x+tu) avec t réel et u vecteur quelconque de la même longueur que x mais là je cherche des méthodes qui simplifient les calculs.

Je vais vous redonner un autre exemple:

soit phi définie sur R:

phi(t)=(x+ t*a'*u)² avec x,a,u vecteurs de longueurs n et "*" le produit matriciel

La dérivée par rapport à t c'est

2*u'*a*(x+t*a'*u)?

En gros en dérivant l'intérieur de la parenthèse pour le sortir il me semble que ça passe à la transposée.En gros que la dérivée de t*a'*u par rapport à t c'est u'*a.

Je sais pas quelle résolution vous avez mais les "primes" pour signifier la transposée ne sont pas très lisibles sur mon ordi j'espère que vous les verrez clairement...

Si a et u sont des vecteur de longueur n, u'*a = a'*u de toute façon

Et d'ailleurs, x ne peut pas être un vecteur.

Et donc t'as une brave fonction de R dans R.

P*tain j'en peux plus,je bûche cette matière depuis 9h du matin je sature,j'arrive pas à donner un exemple significatif.

3ème tentative :

Soient A,B,C des n-n matrices.
t dans R.

f(t)=(C+t*A*B)²
Sa dérivée par rapport à t vaut-elle

2*B'*A'*(C+t*A*B)

Et si vous ne pigez toujours pas où je veux en venir,voici un post tiré d'un forum de maths où apparemment un étudiant à le même problème que moi:

"f : R-> Mn(R)
f(x)=(B+x*H)^k où B et H des matrices de Mn(R)

Que vaut sa dérivée?"

Merci pour votre temps à une heure si tardive

Je repasserai dans 15mn avant de me coucher,si quelqu'un a une réponse qu'il n'hésite pas à la poster je la lirai demain avant de bouger à mon exam .Bonne nuit.

D'où viennent les transposées ?
Pour moi f'(t) = CAB + ABC + t(AB)² (en calculant f(t+h) - f(t)).

Et pour l'autre, j'ai décomposé en 2 fonctions :
x -> B + xH et M -> M^k, j'ai trouvé les différentielles de ces fonctions et j'en ai déduit la différentielle de f.
Au final j'ai f'(x) = somme de j=0 à k-1 de (B+xH)^j*H*(B+xH)^(k-1-j)

(prendre ces résultats avec précaution, à cette heure-là ma fréquence d'écriture de conneries est assez élevée )

Haaaan… A' = transposée de A. Moi qui me demandait pourquoi il dérivait A coefficient par coefficient alors que c'est une constante par rapport à t.

Prauron: c'est f'(t) = CAB + ABC + 2t.(AB)², non ? (t² a pour dérivée 2t).

Pour l'OP, je te conseille d'appliquer purement et simplement les règles sur la dérivation d'une somme et d'un produit :
dérivée de C+t.AB = AB (A, B et C sont des constantes par rapport à t)
dérivée de (C+t*A*B)² = AB . (C+t*A*B) + (C+t*A*B) . AB = ABC + CAB + 2t.ABAB (dérivée de uv = u'v+ uv'. note que ça ne marche pas de passer par u² car les matrices c'est pas commutatif)
dérivée de (B + xH)^k = dérivée de "produit j=1 à k de (B + xH)"
= somme de j=1 à k de (B+xH)^(j-1) (B+xH)' (B+xH)^(k-j)
(on dérive succéssivement chaque terme du produit et on somme le tout)
= somme de j=1 à k de (B+xH)^(j-1)*H*(B+xH)^(k-j)
ce qui est à changement de variable près ce qui a été dit par Prauron.

Dans tous les cas, assure-toi que :
tu tombes sur une formule avec des produits de matrices licites,
quand tes matrices sont 1x1, on retrouve bien la dérivée de la fonction de R dans R correspondante.

PS: j'espère que c'est l'aprem son partiel.

"Prauron: c'est f'(t) = CAB + ABC + 2t.(AB)², non ? (t² a pour dérivée 2t). "

Oui bien sûr. C'est ce que j'avais écrit sur ma feuille en plus.

J'ai eu une illumination pendant mon examen (classique ).

En fait pour savoir quand je dois transposer mon vecteur ou ma matrice coefficients de x en dérivant ma fonction en x il me suffit de vérifier si mes produits sont conformes (en gros si j'ai un vecteur d de longueur n * mon gradient,je sais que mon gradient est un vecteur colonne tout comme d et que je dois donc transposer d pour que le produit existe).Un peu comme la vérification de la cohérence des unités en physique (vérifier qu'on additionne bien des expressions de même unité).

En tout cas merci et bonne soirée