Bonjour à tous!
Je bloque sur un exercice qui ne semble pas difficile, mais qui me pose problème...
J'ai une fonction définie par une intégrale comme suit:
H(x)= intégrale de x à 1/x de (arctan(t))/t dt
Je dois trouver le domaine de définition, puis calculer H'(x) et enfin en déduire H.
Pour le domaine de définition, je trouve que x doit appartenir à R*, mais ça me parait beaucoup trop simple...la suite, je suis entrain d'y réfléchir.
Merci d'avance si vous pouvez m'éclairer!

Bon, déjà, ta fonction est paire, donc on peut se restreindre à l'étude sur R+. Comme tu le dis, il n'y a pas de problèmes pour x strictement positif. Pour x=0, il te faut étudier l'existence de l'intégrale de 0 à +infini de arctan(t)/t (bon, elle n'existe pas, mais il faut le prouver)
Pour la suite, je te laisse réfléchir

Comme tu intègres arctan(t)/t, l'important c'est que 0 n'appartienne pas à l'intervalle [x,1/x] (ou dans l'autre sens), ce qui est bien le cas pour tout x de R*.

Pour x = 0, 1/x ça n'existe pas donc H n'est pas définie.
Après oui on pourrait se poser la question de la limite de H quand x tend vers 0+ ou 0-...

C'est quoi la dérivée de (arctan(t)/t) par contre ?

Jamais vu comment dériver arctan en STI

La dérivée de arctan c'est 1/(1+t²)

Mais donc prauron, la justification que tu as utilisée (qui était la même que la mienne), est suffisante ?

En général, pour ce genre de fonctions, on se demande si elle peut être prolongée par continuité en 0. Dans ce cas, cela revient à étudier l'existence de l'intégrale de 0 à +infini

Oui c'est suffisant.

Si on répond strictement à la question, y'a juste à dire que le domaine de définition c'est R*, il n'est pas demandé d'étudier les limites.

Donc arctan(t)=ln(1+t²) ?

Parce qu'ils ont la même dérivée en fait (aucun rapport je sais).

Non la dérivée de ln(1+t²) c'est 2t/(1+t²).

Ah oui, alors je me suis enflammé trop vite

Merci à tous pour votre aide!

Integrateur Voir le profil de Integrateur
Posté le 11 mai 2011 à 18:46:23 Avertir un administrateur
Donc arctan(t)=ln(1+t²) ?

Parce qu'ils ont la même dérivée en fait (aucun rapport je sais).

D'ailleurs, 2 fonctions qui ont la même dérivée ne sont pas forcement égales...

Oui, s'il y a des constantes par exemple