salut à tous
je bloque sur un exercice qui à un rapport avec les équations de plan.Le sujet est le suivant:
On considère dans un repère trois points A, B et C définis par leurs coordonnées.Trouvez une équation du plan (ABC) de la forme ax+by+cz+1=0,puis indiquez deux autres équations de ce plan.
A(4;-1;-1);B(3;1;2);C(6;-6;-9)
Merci d'avance pour ce qui répondrons...

Système de trois équations à trois inconnues ...

4a - y - z = 0
3a + y + 2z = 0
6a - 6y - 9z = 0

... puisque les trois points appartiennent au plan ...

J'suis fatigué moi ...
Le système devrait ressembler plus à ça :

4a - b - c + 1 = 0
3a + b + 2c + 1 = 0
6a - 6b - 9c + 1 = 0

merci beaucoup mec c'est sympa de ta part

Il y a aussi un dernier exercice où je bloque totalement.voici le sujet:Dans un repère(o;vecteur i;vecteur j;vecteur k),on considère les points A(0;0;6);B(-3;2;2);C(1;-4;4)et D(-3;-6;6)
a)démonter que les points A,B,C et D ne sont pas coplanaires
b)G est le point défini par vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC + vecteur GD = vecteur 0.Calculer les coordonnées de G.On dit que G est le centre de gravité du tétraèdre ABCD
c)Trouver les coordonnées du centre de gravité H du triangle BCD
d)Démontrer que les points A,G et H sont alignés.Quelle est la position de G par rapport à A et H ?

Merci beaucoup d'avance à tous ceux qui me répondrons...

a) A, B, C et D sont coplanaire <=> AB, AC et AD sont coplanaires.
AB = (-3 2 -4)
AC = (1 -4 -2)
AD = (-3 -6 0)
Supposons qu'ils soient coplanaires, alors il existe a et b tels que AB = a*AC + b*AD
C'est à dire :
-3 = a - 3b
2 = -4a -6b
-4 = -2a
Tu tires facilement de la dernière ligne que a = 2
Et donc des deux premières que b = 5/3 ET b = -5/3
Deux b différents, donc pas coplanaires.
Donc A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

b) Soit G (x y z)
On a quatre vecteurs :
AG = (x y z-6)
BG = (x+3 y-2 z-2)
CG = (x-1 y+4 z-4)
DG = (x+3 y+6 z-6)
On calcule alors la somme AG + BG + CG +DG qui doit être égale au vecteur nulle, soit trois équations :
4x + 5 = 0 => x = -5/4
4y + 8 = 0 => y = -2
4z - 18 = 0 => z = 18/4 = 9/2
On trouve donc le point G (-5/4 -2 9/2)

c) Même processus avec seulement trois points donc trois vecteurs :
BH = (x+3 y-2 z-2)
CH = (x-1 y+4 z-4)
DH = (x+3 y+6 z-6)
La somme est également nulle donc :
3x + 5 = 0 => x = -5/3
3y + 8 = 0 => y = -8/3
4z - 12 = 0 => z = 4
On trouve donc le point G (-5/3 -8/3 4)

d) On connait les coordonnées de G et de H
On a donc :
AG = (-5/4 -2 -3/2)
AH = (-5/3 -8/3 -2)
Arrivé là, soit tu cherches un k tel que AG = k*AH, soit tu "remarques directement" comme moi que 3/4 convient.
En effet 3/4*AH = (-5/4 -2 -3/2) = AG, quel hasard.
Donc les points A, G et H sont alignés. (Vecteurs colinéaires)
Position de G par rapport à A et H ? Facile, puisque AG = 3/4*AH, alors G est situé aux 3/4 du segment AH tel que AG = 3GH

Mec t'es vraiment trop sympa merci beaucoup...

You're welcome. =)

mon prof m'a encore donné un exercice chaud.
ABCD est un tétraèdre, I est le milieu de [AD],j est le milieu de [BC].G est le centre de gravité du triangle ABC. E est le quatrième sommet du parallélogramme DCEB.On considère le repère (A;vecteur AB;vecteur AC;vecteur AD).
a)Donner les coordonnées des points A,B,C,D,I,j,E,G.
b)calculer les coordonnées des vecteurs EG et EI.
c)Que peut-on en déduire pour les points E,G et I????

merci à ceux qui répondront....

a) A est l'origine donc A (0 0 0)
Les vecteurs du repère sont B, C et D donc
B (1 0 0)
C (0 1 0)
D (0 0 1)
I est le milieu de AD => AI = 1/2AD donc I (0 0 1/2)
J est le milieu de BC => AJ = 1/2(AB + AC) donc J (1/2 1/2 0)
G est le centre de gravité de ABC donc AG + BG + CG = 0
Pour moi c'est évident, sinon système d'équation pour trouver que G (1/3 1/3 0)
Enfin E complète le parallélogramme DCEB donc AE = AB + BE
Or BE = DC grâce au parallélogramme, donc AE = AB + DC = AB + AC - AD (Chasles)
Donc E (1 1 -1)

b) Simple calcul de vecteurs ...
EG (-2/3 -2/3 1)
EI (-1 -1 3/2)

c) Il me saute aux yeux que EG = 3/2EI ou si tu préfères, que EI = 2/3EG
L'un ou l'autre prouve que EG et EI sont colinéaires. Donc E G et I sont alignés.

franchement merci beaucoup mec tu m'aides bien sur ce oup là...

You're welcome again. =)

et encore un dur...
ON donne les coordonnées des points suivants dans un repère orthonormal(O;vecteur I;vecteur J;vecteur K) S(0;0;5) A(0;2;0) B(2;0;0) C(0;-2;0) D(-2;0;0) M(0;1;0)

1)Démontrez que la base ABCD de la pyramide ABCDS est un carré
2a)Sans aucun calcul, donnez une équation du plan contenant les points A,B,C,D.
b)Déterminez une équation du plan (ABS)
3a)Vérifiez que le plan (BCS) admet pour équation:
5x-5y+2z=10
b)Placez le point N(1;-1;1).Est-il dans la plan (BCS)?

merci pour tout ce qui répondront...

1) Calcule les 4 distances AB, BC, CD et DA, et vérifie qu'elles sont égales.
2a) Tu ne remarques rien sur les coordonnées de ces points ?
b) L'équation est de la forme ax+by+cz+d = 0. Le fait que les points A, B et S appartiennent à ce plan te permet de déterminer a, b, c et d (il n'y a pas une solution unique).
3a) Si les coordonnées des points B,C et S vérifient cette équation, c'est que c'est bien celle-là, puisqu'il n'y a qu'un seul plan qui passent par 3 points non alignés.
b) Est-ce que 5*1-5*(-1)+2*1=10 ?

1) @Prauron : Erreur monumentale ... Je te donne les points suivants :
A (0 0 0)
B (1 0 0)
C (1+rac(3) 1/2 0)
D (rac(3) 1/2 0)
Tu peux vérifier que AB = BC = CD = DA
Pourtant ABCD n'est pas un carré, c'est un LOSANGE ...
Et je n'ai pris un exemple que dans le plan z = 0, en trois dimensions, je peux trouver bien pire ...

Pour répondre :

1) Calcul de vecteurs
AB = (2 -2 0)
BC = (-2 -2 0)
CD = (-2 2 0)
DA = (2 2 0)
Facile de remarquer que AB = -CD et BC = -DA
ABCD est donc un losange.
Reste à calculer les distances AC et BD qui valent 4 toutes les deux.
Un losange dont les diagonales sont égales est bien un carré. CQFD

2)a) Il saute aux yeux que ces quatre points ont une coordonnée nulle en z. Ils sont donc dans le plan d'équation z = 0

2)b) Effectivement le plan recherché à une équation de la forme ax + by + cz + d = 0
Les points A, B et S appartiennent à ce plan, leurs coordonnées vérifient donc cette équation. On a donc :
2b + d = 0
2a + d = 0
5c + d = 0
Je choisis de prendre d = -10, on trouve donc :
b = 5
a = 5
c = 2
UNE équation de ce plan est donc : 5x + 5y + 2z - 10 = 0

3)a) Effectivement, il suffit de vérifier que les coordonnées de B, C et S vérifient l'équation donnée.
C'est le cas, donc 5x - 5y + 2z = 10 est bien une équation du plan BCS

3)b)Placer ... ?
Si N appartient au plan BCS, on aurait 5*1 - 5*(-1) + 2*1 = 10 <=> 12 = 10 clairement FAUX. =)
N n'appartient donc PAS au plan BCS

Euh oui en effet...

merci quand meme prauron
et encore merci fanFF

You're welcome again again. =)