Bonsoir tout le monde. J'ai une question concernant un exo de maths: c'est sur la somme des carrés des chiffres. A tout entier naturel non nul on associe f(n)=somme des carrés de ses chiffres.
Exemple: f^(k)(3) a pour liste 3 9 81 65 61...
Je dois prouver que pour tout n appartenant à N*, il existe un k appartenant à N tel que f^(k)(n)<(ou égal) à 999, puis à 243, 166 et 162.
Je n'arrive pas à trouver la solution pour 999 et comme les autres cas se trouvent selon un raisonnement identique, je n'y arrive pas non plus... Merci de votre aide

Salut,
Je ne comprends pas bien ce que fait ta fonction.
C'est quoi le symbole f^(k)(n)?

Salut
Bon déjà, pour commencer, tes explications ne sont pas très claires
Je vais te donner une première piste, si jamais tu as encore besoin d'aide, peut-être que j'essaierais de faire l'exo
Soit n=a1a2...aN un entier fixé, avec N son nombre de chiffres.
Alors f(n)=(a1)^2+...+(aN)^2<=9^2+...+9^2<=81N
Il faut donc réussir à montrer que tu peux obtenir un nombre à 3 chiffres avec des itérations de f, puis 2 chiffres

C'est l'énoncé qui est pas clair, je ne fais que le répéter

Autre exemple qui peut éclaircir: f^(10)(n) pour n entre 1 et 162 donne la liste:
1 16 20 37 37 145 ...
Car:
pour 1, on fait 1*1=1 puis 1*1=1 ... 10 fois et on retrouve le 1 de la liste
pour 2, on fait 2*2=4 puis 4*4=16 puis 1*1+6*6=37 puis 3*3+7*7=58 ... 10 fois et on retrouve le 16 de la liste
dougthehead:
je ne comprends pas la ligne "Alors f(n)=(a1)^2+...+(aN)^2<=9^2+...+9^2<=81N" par rapport à mon exo. Juste avant j'ai prouvé que 10^n > 81(n+1) mais je sais pas s'il faut que je m'en serve

Je te disais juste comment majorer f(n). La somme de N chiffres est inférieure à la somme de N 9.
Indication 2 (je suis sympa, je sais ): Soit p un nombre fixé. Est-ce que tu peux arriver à montrer que f(p) a moins de chiffres que p (moyennant une petite condition sur le nombre de chiffres de p)

Ah j'ai compris ce que tu voulais m'expliquer, merci.
Selon ton raisonnement, on a donc f(p)=(a1)^2+...+(ap)^2<=81p et que la somme de p chiffres va être plus petite que la somme de p9, mais après.. Je bloque

Personne?

Bon...soit n un entier
Tu commence par montrer que la suite des chiffres de f^k(n), k € N est strictement décroissante tant qu'elle n'atteint pas 3 (ceci vient du fait que si un nombre à M chiffres, 81M est en général bien inférieur à 10^M)

Donc il existe p € N tel que f^p(n)<999
Ensuite: f^(p+1)(n)<=9²+9²+9²<=243
f^(p+1)(n)<=243 donc f^(p+2)(n)<=1+81+81<=163 (convexité de x^2)
f^(p+2)(n)<=163 donc f^(p+3)(n)<=81+81<=162 (pareil)
D'où le résultat

Je te laisse mettre ca en forme

Merci beaucoup doudthehead. Cependant, pourquoi tu utilises la convexité de x² et qu'on n'a pas plutôt f^p+2(n)<=2²+4²+3²<=29 vu qu'au dessus on a f^p+1(n)<=243 ?

Convexité de x^2, c'est juste histoire de dire que a^2+b^2<=(a+b)^2
donc en gros, le maximum de f sur [0,243] est atteint en 199

Et c'est normal que tu trouves <=163 alors que mon énoncé dit <=166 pour la 3ème étape? J'ai vraiment du mal à capter le truc...

Ton énoncé dit que quelque soit n plus petit que 243, f(n)<=2^2+9^2+9^2=166(le premier chiffre est plus petit que 2, les autres plus petits que 9)
Moi, je te dis que le maximum de ta fonction sur [0,243] est 163.
Essentiellement, ca change pas grand chose

Ah ok ça marche, merci beaucoup