Bonjour,
j'ai un exercice où je peine sévèrement
Voila l'énonce :
On pose pour tout (m,n) de R², f(m,n)=(2^m)*(2n+1)-1
1 Calculer ... (bon ça je passe, je l'ai fait no problemo)
2) Determiner f({0}xN) j'ai trouvé 2N, ça devrait être bon je pense

C'est sur la suite que je bloque totalement
3) Montrer que f est injective
4) Montrer qu'elle est surjective
5) En s'inspirant de f, trouver une bijection de N^3 dans N.

Alors pour la 3 je vois ce qu'il y à a montrer, mais je trouve
(2^m)*(2n+1)=(2^m')*(2n'+1)
Et à ce stade je vois pas comment conclure que m=m' et n=n', si j'avais l'un l'autre serait une évidence, mais comme je n'ai aucun des deux =/

Pour la 4 c'est pire, je vois même pas comment trouver la surjection =/

La 5 en revanche, je pense qu'une fois les deux précédentes trouvées, sera plus facile.

Merci de votre aide

Pour tout (m,n) de R^2 ou de N^2 ?

Bon j'imagine que ça doit être N^2 sinon t'aurais pas mis ça comme titre.
Tu supposes m supérieur ou égal à m' et tu divises par 2^m', ça devient assez simple.

Oh pardon j'avais pas vu qu'il y avait déjà une réponse !
Oui en effet c'est N² désolé pour le lapsus^^
Le problème c'est qu'en divisant j'obtiens
(2^k)(2n+1)=(2n'+1)
et je vois pas comment rebondir =/

" 3) Montrer que f est injective "

ker f = { (m,n) € N² \ (2^m)*(2n+1)-1 = 0}

==> (2^m)*(2n+1) = 1

Et le seul couple qui vérifie cette égalité est le coupe (0,0).

Donc ker f = {0} f est injective

Epitax L'implication kerf={0} f injective n'est elle pas vraie que si f est linéaire ?

Enfin c'est la méthode que j'ai appris en cours d'algèbre linéaire, or f n'est pas linéaire, donc oublie

Voilà, on est d'accord

(2^k)(2n+1)=(2n'+1)
2n' + 1 est impair
si k=/=0 alors 2^k(2n+1) est pair : impossible

Ensuite pour la surjectivité si tu sépares les cas en cherchant l'antécédent d'un entier pair et l'antécédent d'un entier impair ça devrait marcher

Ah oui en effet ça marche pas mal^^

Pour l'antécédent d'un nombre pair, c'est déjà fait vu qu'on avait vu que f(0xN)=2N, après pour n impair j'ai trouvé une démo par récurrence, ça devrait être bon merci ;)