Bonjour à tous ! Je bloque sur une question d'un exercice un peu particulier qui mêle fonctions et complexes où l'on sert d'une rotation pour faire un lien entre deux fonctions.
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On considère la fonction f, définie sur R*+ par f(x) = ln(√(1+x) - 1). On note C sa courbe.

Après une brève étude de limites et de variations, j'ai conclus qu'elle était st croissante et lim f(x) (+inf) = +inf / lim f(x) (0) = - inf.
Je dois ensuite placer des points ou je devais déduire des ordonnés, etc.

Le seconde partie de l'exercice implique la rotation r telle que : z' = e^ipi/2 z soit z' = i z.
On définie z' = x' +iy' et z = x + iy. Je dois ensuite exprimer x'+y' en fonction de x et de y puis inversement.

J'ai trouvé : x' + y' = x - y et x + y = x' - y'.

On insère ensuite une fonction g :
g(x) = e^-2x + 2.e^-x. On note T sa courbe.

Voilà la question qui me pose problème :

Montrer que lorsqu'un point M appartient à (C), son image M' par r appartient à T.

Je n'ai jamais eu à faire ce genre de choses avec des fonctions mais toujours avec des lieux de points, je ne sais pas comment m'y prendre, dois-je utiliser les relations de x+y précédemment établies ?

Je vous remercie d'avance pour l'aide que vous pourriez m'apporter.

La fonction f : f(x) = ln(V(1+x) - 1). Le signe spécifique est pas passé.

Si M appartient à C, ses coordonnées sont de la forme (x,f(x)), avec x > 0.
Donc l'affixe de M est x + if(x), donc l'affixe de M' est -f(x) + ix. Les coordonnées de M' sont donc (-f(x),x). Pour montrer que M' appartient à T, il suffit de vérifier que g(-f(x)) = x.

Tout est clair ! Merci Prauron !

J'up car j'ai de nouveau un problème pour la dernière question de cet exercice.

Dans une troisième partie on s'intéresse au calcul intégrale.
En utilisant le fait que lorsque le point M décrit C, le point M' décrit T.

Je dois donc calculer l'intégrale de g(x) de 0 à ln2. Pas de problème, on trouve 11/8. On me demande ensuite de trouver l'aire du domaine image par la rotation : 11/8 aussi.

On pose ensuite l'intégrale de f(x) de 5/4 à 3. Elle est égale en fait à la différence de celle précédemment établie et l'aire d'un rectangle d'aire 5ln2/4. Je trouve donc [11-10ln(2)] / 8.

Cependant, on me demande ensuite de trouver ce résultat à l'aide d'une IPP.

Autrement dit de faire l'IPP de l'intégrale de ln(V(x+1)-1) entre 5/4 et 3. Le problème c'est que je n'ai jamais eu à faire des IPP sur de telles fonctions (seulement sur des produits généralement). Comment faut-il s'y prendre ? Merci !

ben tu primitives 1 et tu dérives ln(V(x+1)-1) ensuite tu utilises la forme conjuguée et normalement tout ira bien

Ok, j'ai tout compris. Merci bien pour ton aide !