soit la fonction f(x)= ln(1+x) / x définie sur [0;+infini[

je doit démontrer qu'elle est continue en 0.

je pense qu'il faut faire la limite en 0+ et 0- mais le problème c'est que j'ai une forme indéterminée "0/0"

j'arrive pas à faire le taux de variation , quelqu'un pourrait m'aider ?

Telle quelle, la fonction n'est pas continue en 0 puisqu'elle n'est même pas définie en ce point...

Sinon, pour la limite, tu remarques que ln(1+x)/x = ( ln(1+x) - ln(1+0) )/ (x-0)

Pas besoin de faire la limite en 0+ et 0- , il n'ya pas d'expression différente de la fonction a droite et a gauche
essaye d'ecrire ln(1+x)/x différemment
Inspire toi de comment on détermine la limite en a 0 de sin(x)/x (ta du le voir en cour) c'est le méme principe

blue: ouai ça serait plus "un prolongement par continuité en 0", que son exo veut qu'il fasse mais bon en term tu fais pas de distinction

on me dit aussi f(0)=1

Voilà, en f(x)=ln(1+x)/x sur ]0;+oo[

f sera continue en 0 <=> limite de f en 0 = f(0)

Si c'est vraiment ça l'énoncé, il est incomplet.

ln(1+x) / x c'est pas défini en 0.
Si on veut que la fonction soit définie en 0, il faut définir à part la valeur en 0, et montrer que la fonction tend bien vers cette valeur.
Parce que si f(x) = ln(1+x) / x pour x > 0 et f(0) = 42 la fonction est pas continue...

Si c'est vraiment ça l'énoncé, il est incomplet.

ln(1+x) / x c'est pas défini en 0.
Si on veut que la fonction soit définie en 0, il faut définir à part la valeur en 0, et montrer que la fonction tend bien vers cette valeur.
Parce que si f(x) = ln(1+x) / x pour x > 0 et f(0) = 42 la fonction est pas continue...

f(0)=1

En fait il faut que je fasse la limite en 0 et que je trouve 1.
Mon problème c'est que j'arrive pas a faire cette limite.

Ok j'avais pas vu ton message, elle est bien continue alors, puisque ln(1+x)/x tend vers 1 en 0.

Je t'ai donné une indication, VD2611 aussi...

C'est un taux d'accroissement, cf la première réponse de Blue.

donc ça me donne ça :

soit: g(x)= ln(1+x)
et g(0)=ln(1)=0

donc : f(x) = g(x)-g(0)/(x-0)

Si g est dérivable donc cette limite est égale a g'(0).

g(x) est dérivable g'(x) = 1/(1+x)
donc g'(0)= 1/(1+0)= 1

conclusion : lim(x 0) de f(x)=1

La fonction est donc continue en 0.

J'ai bon ?

Oui.

Non c'est pas encore assez compliqué, je pense qu'il vaudrait mieux utiliser le développement en série entière de ln(1+x).