Bonjour,
on définit un sous groupe additif AB (avec A et B deux sous groupes additifs) telle que :
AB={a*b/a dans A, b dans B}
On souhaite montrer qu'avec A=Q ou A=aZ, AB est un sous groupe additif.
Bon alors montrer que c'est non vide, trivial, passage par l'opposé idem. Donc on va s'occuper de là ou je bug :
Montrer que pour x dans AB et y dans AB, x+y est dans AB.
Alors dans le cas où A=aZ, j'ai pensé a ceci :
x+y=(ak*b)+(ak'*b') avec k,k' dans Z, et b,b' dans B.
x+y=a(kb+k'b').
Or vu que B est un groupe additif, k*b et k'*b' avec k' et k dans Z appartiennent à B, et kb+k'b' appartiennent à B.
Donc on a bien x+y comme produit d'un élément de A et d'un de B, donc AB est un sous groupe additif.
Déjà cette partie est elle bonne ?
Ensuite dans le cas ou A=Q;
x+y=(p/q*b)+(p'/q'*b')
Soit k dans Z le ppcm de q et q' tel que k/q=a et k/q'=a'
On a donc x+y=1/k*(ap*b+a'p'b').
Avec ap et a'p' dans Z, et comme B est un SGA et que b,b' sont dans B alors apb et a'p'b' sont dans B. Or 1/k est dans Q=A. d'où
x+y s'exprime comme le produit d'un élément de A et d'un élément de B.
CQFD ( )
J'voudrais déjà savoir si c'est bon, et comment améliorer ceci. Merci bien !

T'es même pas obligé de parler du ppcm, tu peux simplement prendre k = qq'. Mais ce que tu as fait est juste.

Ah oui tout à fait, le PPCM était la première chose qui me passait par la tête, mais c'est plus clair avec qq', merci beaucoup et bonne journée !