Salut,

J'seche vraiment sur un exo d'un DM depuis quelques heures déjà, et ça devient trop frustrant pour moi

J'vous demande donc une petite aide ou piste de réflexion, sachant que j'ai zappé le cours sur les espaces vectoriels (malade )

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et F , G deux sous espaces vectoriels de E de même dimension p.

Montrer qu'il existe un vecteur e1 appartenant a E tel que e1 n'appartiennent pas a F U G

Montrer de même qu'il existe (e2,e3...e(n-p) ) des vecteurs de E tel que

qqsoit i appartenant a l'intervalle [[1,n-r]], (e1,...,er) est libre et Vect(e1,...,e i )Inter(F U G ) = {0}

U = union

a l'ayde

merci d'avance

"Montrer qu'il existe un vecteur e1 appartenant a E tel que e1 n'appartiennent pas a F U G "

Bien sûr on suppose 1 =< p =< n-1.
Si un tel vecteur n'existe pas, alors FUG = E. En particulier FUG est un sous-espace de E. Or la réunion de deux sous-espaces est un sous-espace si et seulement si l'un est inclus dans l'autre (tu as sûrement vu ce résultat, sinon il faudra le montrer, c'est pas bien dur). Par exemple, G est inclus dans F. Alors FUG = F, et donc F = E. Ce qui est impossible car dim F = p et dim E = n.
Donc il existe un tel e1, et il est non nul, sinon il appartiendrait à F et à G. Comme e1 est non nul, la famille (e1) est libre.
Supposons qu'il existe x un vecteur non nul dans vect(e1)inter(FUG). Par exemple x € vect(e1) inter F. x € vect(e1) = Ke1 donc il existe un scalaire µ non nul tel que x = µ*e1 € F. Comme F est un sous-ev, cela implique que µ^-1*x = e1 appartient à F, ce qui est faux. Donc vect(e1) inter (FUG) = {0}.

Par contre après t'es sûr que c'est ça l'énoncé ? Je vois pas bien d'où il sort ce r. C'est pas plutôt :
qqsoit i appartenant a l'intervalle [[1,n-p]], (e1,...,ei) est libre et Vect(e1,...,e i )Inter(F U G ) = {0} ?