Bonjour !

J'ai (encore) besoin d'un peu d'aide sur un exercice un peu spécial. Il s'agit donc de la constance d'Euler-Mascheroni.

On a donc une suite harmonique classique : Un = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.

Je dois d'abord calculer les 4 premiers termes, c'est ok.

Ensuite on me demande de démontrer les inégalités suivantes pour x >_0 :

ln(1+x) >_ x ; x/(1+x) <_ ln (1+x). C'est ok aussi.

J'obtiens donc l'encadrement suivant :
x/(1+x) <_ ln (1+x) <_ x.

Je bloque sur la question suivante :

En déduire, que pour k>_1 :

1/(k+1) <_ ln(k+1) - ln k <_ 1/k.

J'ai donc repris l'inégalité que j'avais établie j'ai soustrait de chaque côté ln k. Mais je n'arrive pas à travailler ensuite les termes : k - ln k et k/(1+k) - ln k.

Comment dois-je faire ? Peut-être suffit-il de refaire des études fonctionnels pour prouver que : 1/k >_ k - ln k et 1/(1+k) <_ k / (1+k) ? Mais n'y a t-il pas une astuce ou un moyen plus subtil ?

Merci d'avance ! Et bonne journée !

C'est l'encadrement précédent avec x = 1/k.

Ouais en effet, je viens d'arriver à la même conclusion. En posant x = 1/k et en remarquant que ln(1+x) - ln(x) = ln(1+(1/x)), on trouve bien le résultat demandé ! Merci ! ;)

Sinon suffit de remarquer que si t appartient à [k,k+1], 1/(k+1) =< 1/t =< 1/k, et on intègre entre k et k+1.

"on intègre entre k et k+1" > Cela demande d'utiliser les intégrations ou ça n'a rien à voir ? Car on ne les pas encore faites.

Ah, si tu n'as pas vu l'intégrale oublie.
(c'était juste une façon un peu plus rapide d'obtenir l'encadrement 1/(k+1) =< ln(k+1) - ln(k) =< 1/k)
Et puis de toute façon y'a un "en déduire" donc t'as pas le choix de la méthode.