Bonjour...

J'ai une question qui est plus d'ordre pratique qu'autre chose. Je pourrais très bien terminer la question de mon devoir sans cette information, mais elle serait quand même nettement plus courte à rédiger.

Étant donné un espace vectoriel F (De dimension 3.) engendré par trois endomorphismes u, v, w, je dois prouver que cet espace vectoriel est stable par la composition des applications.

La méthode brutale consiste à prendre six coefficients a, b, c et a', b', c' et à composer au + bw + cv et a'u + b'w + c'v, ce qui donne des calculs à rallonge particulièrement fastidieux. Pas cool, n'est-ce pas ?

La question est donc la suivante : montrer que la composition de chacun des endomorphismes de la base par un autre endomorphisme de la base engendre un endomorphisme qui est encore dans F est-elle une preuve suffisante pour montrer que F est stable par la composition des applications ? Autrement dit, si les compositions u o v, v o w, et w o u (Et leurs symétriques, éventuellement.) sont toujours dans F, F est-elle stable par composition des applications ?

On joue alors uniquement sur les éléments de la base.

Cela serait d'autant plus intéressant que les endomorphismes de la base de F sont particulièrement simple à composer entre eux.

J'espère avoir été assez clair (Et je n'en ai pas l'impression.).

Merci d'avance.

Oui, c'est ça l'intérêt d'avoir une base.
Si tu montres que les composées des éléments de la base restent dans F, comme F est un espace vectoriel, les combinaisons linéaires de composées d'éléments de la base sont aussi dans F. Donc ton gros truc que tu veux pas développer, il est dans F.
Par contre effectivement il faut montrer que les composées dans l'autre sens sont aussi dans F, parce qu'a priori u, v et w ne commutent pas.

Je ne saurais répondre que par un seul terme : je te remercie, ce qui fait huit termes.
Ça m'embêter d'affirmer ça en bloc, puisque je suis plus habitué à prouver l'appartenance d'une combinaison linéaire de vecteurs à un espace qu'une composition...

Okidoki, ça va me plaire, cet exercice.

• Embêtait, pardon.

Je corrige quand même cette erreur monumentale. Mes excuses.

De rien.

C'est un truc à retenir en algèbre (en particulier en algèbre linéaire), quand t'as une propriété à vérifier sur tout l'espace, bien souvent il suffit de vérifier qu'elle est vraie sur une partie génératrice.