Bonjour,

pour un DM d'info je dois d'abord faire quelques démo sur les ensembles, et l'une me pose problème:
E est un ensemble fini non vide de cardinal n. Il faut montrer que: somme sur f€P(E) de card(f)=n*2^(n-1)
càd que la somme des cardinaux des parties de E est n*2^(n-1)

en ayant testé avec quelques valeurs je pense que, bien que ça ne soit pas précisé dans l'énoncé, on exclue des parties de E l'ensemble vide et E lui même.

Merci

Euh en fait ça serait plutôt les parties non vides de E**

On pose n = card(E)
Somme(card(F),F€P(E))= Somme(k*(k parmi n),k allant de 0 à n)
= Somme(k*n!/(k!(n-k)!),k allant de 1 à n) (pour k = 0 le terme est nul)
= Somme( n!/(k-1)!(n-k)!),k allant de 1 à n)
= Somme( n*(n-1)!/(k-1)!((n-1)-(k-1))!),k allant de 1 à n)
= n*Somme( (k parmi n-1),k allant de 0 à n-1)
=n*2^(n-1).

Tu n'as donc pas besoin de retirer l'ensemble vide (il est de cardinal 0 donc n'a pas d'impacte sur la somme), et il ne faut pas retirer l'ensemble lui même.

Ah oui c'est vrai, je ne pensais plus au fait que le cardinal de l'ensemble vide était nul...

Merci pour explication, je n'avais pas vu la simplification