Bonjour,

voilà mon problème :
étudier la convergence de la suite et préciser sa limite si elle existe :

u(n) = RACINE[ (n-1)! ] / PRODUIT[ 1 + racine(k), k allant de 1 à n]

Et je ne sais pas trop où aller. On m'a conseillé d'étudier le ln(u(n)) mais je sais pas quoi en déduire vu qu'aucune simplification n’apparaît.

Merci d'avance pour les réponses

Si je me trompe pas avec le ln tu tombe sur une somme ça me semble plus simple a étudier

Oui, on tombe sur
ln(u(n)) = SOMME[ ln(racine(k)) , k allant de 1 à n-1] - SOMME[ ln(1+racine(k)), k allant de 1 à n]

Mais je sais pas quoi en faire...

Tu regroupes les sommes, ça te donne une série et tu étudies sa limite en +l'infini si ça tend pas vers 0 ça diverge.

tu as vu les séries?

Je sais pas comment ça se démontrerait rigoureusement, mais a l'instinct je dirais que ça va tendre vers -oo car le terme de gauche est < au terme de droite. et donc u(n) converge vers 0 mais je vois pas trop comment on démontre la prépondérance du terme de droite

Tu met les termes de la somme de droite dans celle de gauche (sauf le dernier terme), tu obtient Somme(ln(racine(k)/(1+racine(k))),1<=k<n) - 1/2ln(k)
La somme est <=0, le -1/2ln(k)->== tend vers -oo, donc ln(u(n))->-oo, donc u(n)->0

En fait ça te donne si je dis pas de conneries

Ln(un)= Somme [ln(racine(k))-ln(1+racine(k))]-ln(1+racine(n))

et tu étudies la limite de ce truc, si c'est 0 alors il faut faire autrement ( ) sinon ça diverge.

"La somme est <=0, le -1/2ln(k)->== tend vers -oo, donc ln(u(n))->-oo, donc u(n)->0 "

Euh si on a Sn=Somme[un] avec (un) qui tends vers +ou- oo ça veut pas dire que Sn diverge?

En y réfléchissant bien avec cette expression (qui est exacte normalement)

Ln(un)= Somme [ln(racine(k))-ln(1+racine(k))]-ln(1+racine(n))

La somme est négative (car racine(k)/(1+racine(k)) est plus petit que 1 et le dernier terme tend vers -oo.

Donc on peut en déduire que u(n) tend vers 0 ?

Okay, merci bien