Je bloque dans le sens où j'ai l'impression de faire pas mal d'approximation.

S'il vous plait, essayez si vous êtes courageux de lire toutes mes réponses.

Enoncé :

http://www.noelshack.com/uploads/images/19900089442035_mathp1__copie__copie.jpg

1°) Je pense qu'il faut montrer que la famille (cos,sin,1) est libre afin de montrer qu'il n'existe pas de relation de linéarité entre les trois vecteurs qui compose la base
=> dim E = 3

Soit (a,b,c) € R^3 / a*cos + b*sin + c = 0

En général, pour ce genre de démonstration je :
- raisonne par l'absurde ie je suppose (a,b,c) non nul puis contradiction donc a=b=c=0 donc famille libre.
- Passe aux limites en +oo quand j'ai des fonctions plus classique mais visiblement ca ne sert à rien ici.

Bref, ca doit être bête mais je ne vois pas comment le prouver.

Pour d € L(E), je l'ai fait en une ligne (somme des dérivées = dérivé de la somme donc linéaire)

2°) d^3(f) + d(f) = f''' + f'

Soit une base (cos,sin,1) de E, il existe (cos,sin,1) € E^3 / f = vect (cos,sin,1)

Par stabilité de d (d € L(E) ), d(f) € E donc il existe a € R / d(f) = f' = a (cos - sin)

On applique d :

d²(f) = f'' = a (- cos - sin)

On applique d :

d^(3)(f) = f''' = a ( sin - cos)

Comme par hasard f' + f''' = 0.

Mais je m'interroge un peu sur ma redaction, si vous voyez des betises de raisonnement, corrigez moi svp.

J'ai surtout peur de me gourrer dans l'introduction de mes variables, de mal les définir, de faire des petits non sens.

c) f € ker d <=> d(f) = 0 <=> f' = 0

<=> a (cos - sin) = 0 (cf question 1)

Donc (cos,-sin) est une base de ker d

f € ker(d²+id) <=> d²(f) + f = 0

Je bloque là...

Bref, si déjà, vous pouviez m'aider pour ces 3 questions, ca serait sympa, merci

Pour ta première question, effectivement tu sais que l'espace engendré par trois vecteurs est au plus 3, suffit donc de montrer qu'ici c'est aussi au moins 3, càd que ces trois vecteurs sont libres.

Tu pars bien avec tes a, b, c, le seul soucis c'est que tu as visiblement oublié ce dont tu parles : de fonctions. Tu n'as donc qu'à prendre des x bien choisis pour montrer que a=b=c=0.

Pour ta 2, pour faire ça proprement, soit tu prends un élément quelconque de ton espace, donc de la forme a cos + b sin + c 1 et tu montres que ça marche. Soit tu le montre pour tes trois vecteurs de base séparément, cos, sin et 1 et d'après la linéarité de la dérivée que tu viens de démontrer, c'est bon.

Pour montrer que c'est dans L(E) faut dire que c'est non seulement linéaire, mais que d(f) € E (c'est évident mais faut le dire).

Merci

Je vais refaire les deux questions "proprement", 10 minutes.

Sinon f' = 0 <=> f = constante, donc ker d c'est simplement engendré par la fonction constante égale à 1.
Pour ker(d²+id) soit t'as montré que ker d et ker(d²+id) sont supplémentaires, soit tu vois que f € ker(d²+id) <=> f est solution de y''+y = 0, équation dont tu connais une base de solutions.

1°) Soit (a,b,c) € R^3 / a*cos (x) + b*sin (x) + c = 0

On choisit les valeurs x = 0, x = Pi/2, x = 1

| a + c = 0
| b + c = 0
| -a + c = 0

De ce système, on déduit que a = b = c = 0 donc la famille est libre.

Donc il n'existe aucune relation de linéarité entre cos, sin et 1 donc dim E = 3

Soient (f,g)€E² , (a,b) € R² :

On a d(af+bg) = (af+bg)' = a d(f) + b d(g) => linéaire

De plus d(f) € E (clairement)

Donc d € L(E).

2°) On prend un élément quelconque E de la forme :
f = a cos + b sin + c 1

On applique d (stabilité de f par d car d € L(E) )

d(f) = - a sin + b cos

d²(f) = f'' = - a cos - b sin

d^(3)(f) = f''' = a sin - b cos

f' + f''' = 0

C'est propre ??

car mon prof de math est très pointu sur la rédac (comme tous les prof de prépa quoi ... )

Prauron Corrige moi si je me gourre.

Je ne suis pas d'accord avec "f' = 0 <=> f = constante, donc ker d c'est simplement engendré par la fonction constante égale à 1"

Contre exemple :

Soit f la fonction défini par :

| f(x) = 2 pour x € [2,+oo[
| f(x) = 6 pour x € ]-oo,2[

f'(x) = 0 mais la fonction n'est pas du tout constante.

Ouais mais elle est même pas continue la fonction que tu me proposes, donc elle est pas dérivable, et encore moins de classe C infini.
Si t'as f' nulle sur un intervalle, ça implique f constante.

Ah oui, j'avais plus à l'esprit l'ensemble E en lui même.

Merci pour votre aide.

Je rédige la question 3 convenablement et je reviens.

c) f € kerd <=> f' = 0
Nécessairement, f est constante car f € E

Donc ker d est engendré par la fonction constante égale à 1.

• f € ker(d²+id) <=> f'' + f = 0

<=> - a cos - b sin + a cos + b sin + c = 0

<=> c = 0

Donc (cos,sin) est une base de ker d²+id.

C'est à peu près bon je crois.

Ouaip, là t'as montré que ker(d²+id) est engendré par cos et sin, et comme t'as vu avant que (cos,sin) forme une famille libre (comme sous-famille d'une base de E), alors c'est bien une base.

d) Mq S est un ev.

Je dois montrer que S est :

• muni d'un loi interne
• muni d'une loi externe vérifiant (a € K)

a(x+y) = ax + ay
(x+y)a = ax + ay
a(bx) = (ab)x (a,b)€K²
1*x = x

Désolé, c'est la première fois qu'on me pose cette question donc je suis un peu paummé....

Prauron Merci, j'avais oublié de préciser ta dernière phrase.

Oula non, tu vas pas t'amuser à vérifier les 36 axiomes d'espace vectoriel.
Suffit de montrer que c'est un sous-ev de l'espace vectoriel des fonctions de classe C3 par exemple. Donc t'as juste à montrer que c'est stable par somme et multiplication externe.

Ah, en effet, c'est plus court.

Merci, je vais rédiger.

Désolé je m'emmele un peu car c'est un espace constitué d'équa diff.

Donc pour vérifier la stabilité par somme et multiplication :

Soit (f,g) € S², (a,b) € R² :

(af+bg) + (af+bg) = a(f) + af + b(g)''' + bg = 0 par définition de S

Et

(af*bg) + (af*bg) = a(f) * bg + af * bg''' + af + bg

= c'est du grand n'importe quoi.

Encore désolé car c'est probablement un truc hyper simple mais l'algèbre linéaire, c'est tout nouveau pour moi.

Je crois qu'il y a une erreur d'énoncé et que S c'est l'ensemble des solutions de y''' + y' = 0. Parce que sinon E n'est pas inclus dans S et c'est fâcheux...

Si t'as peur de t'emmêler, fais-le en 2 temps : d'abord l'addition, puis la multiplication externe.
Pour la stabilité par multiplication externe :
Soient f € S et a € R. Montrons que af € S.
(af) + (af)' = af + af' = a(f + f'). Or f + f' = 0 car f € S.
Donc (af)''' + (af)' = 0, donc af € S.

Pour la stabilité par somme :
Soient f, g € S. Là tu fais pareil, tu calcules (f+g)''' + (f+g)', linéarité de la dérivation, f et g sont dans S, et c'est ok.

Ok. Merci encore.

y''' + y' = 0

Le problème, c'est que je ne peux pas faire de lien avec ça.

Je dois faire une analogie entre

d^3 + d = 0
y''' + y = 0

je crois