Bonsoir, voilà bientôt une heure que je bloque sur la question 1)a) de l'exercice 2 de mon DM de maths .
Avez vous une piste à me donner?
J'ai tenté d'utiliser le fait que (e1,e2,e3) est une base de E, mais j'ai l'impression d'aboutir à des choses délirantes.
Merci d'avance pour vos futures réponses!
http://www.pcsi-perrin.com/wp-content/uploads/2011/02/devoir-libre-11.pdf

Pas besoin de faire appel à une base pour cette question.

Tu dois montrer que ker(u) inter ker(u²+id) = {0} et que E = ker(u) + ker(u²+id).

Pour le premier point c'est simple il suffit de montrer que si u(x) = 0 et uou(x) + x = 0, alors x = 0.
Pour le second point, il faut montrer que tout élément x de E s'écrit comme somme d'un élément de ker(u) et d'un élément de ker(u²+id). En fait il suffit de vérifier qu'il existe y € ker(u) tel que x-y € ker(u²+id). En effet si on montre ça, puisque x = (x-y) + y, on aura la décomposition voulue. Un raisonnement par analyse synthèse permet de trouver ce y. Bien sûr il faudra utiliser à un moment donné l'égalité u^3 + u = 0.

Merci beaucoup!