Bonjour,

Je suis en train de me pencher sur mon cours de probas, et j'ai un petit soucis de calcul de variance.
Je suis sur le loi de binomiale : Binomiale(n; p) avec n > 0 et p € [0; 1] : P(X = k) = (k parmi n) p^k (1-p)^(n-k) pour k €[0,n]

Pas de soucis pour calculer l'espérance, ça me donne np.
Mais pour la variance, le corrigé que j'ai passe par :
Var(X)=E(X²)-(E(x))²=E(X(X-1))+E(X)-(E(X))²
Et je ne comprends pas comment ils calculent E(X(X-1)).

Ils disent :

E(X(X-1))=Somme(k=2 à n) k(k-1)(k parmi n) p^k (1-p)^(n-k)

Et je n'ai foutrement aucune idée d'où ils peuvent bien sortir un truc aussi joli. Puisqu'en revenant à la définition, c'est quelque chose du genre :
Intégrale(sur R) x P_(X(X-1)) (dx) = Somme(N) k P[X(X-1)=k]
Et je n'ai aucune idée de la valeur de ce dernier joujou T_T

Quelqu'un peut-il m'éclairer? (si tant est que ce soit lisible :s)

Merci d'avance.

Si tu reviens à la définition c'est E(X(X-1)) = intégrale sur Oméga de X(X-1) dP
En utilisant le thm de transfert ça fait intégrale sur R de X(X-1)dP_X où P_X c'est la mesure sur R donnée par somme k=0 à n (k parmi n) p^k(1-p)^(n-k) delta_k, où delta_k c'est la mesure de Dirac en k. Et quand tu intègres par rapport à delta_k, ça revient à évaluer la fonction en k. D'où les k(k-1).

Bon par contre je suis pas sûr de moi parce que je sais plus trop faire ces trucs-là.

Merci de ton aide!
Sauf erreur de ma part, le théorème de transport n'a rien à faire dans l'affaire, mais je pense avoir compris avec ce que tu as ajouté.
En fait on pose directement dans les définitions :

E(X)=int sur Oméga de XdP = int sur R de x dP_X
Et je ne trouve aucun cours qui justifie cette égalité. Mais même si elle me parait abrupte sans justification, en l'admettant après ça marche aussi pour ce qui me concerne.

C'est justement le théorème de transfert qui permet d'écrire cette égalité puisque P_X par définition c'est la mesure image de P par X (ou un truc comme ça ).
D'ailleurs :
http://fr.wikipedia.org/wg/wiki/Loi_de_probabilit%C3%A9 (paragraphe 4)

Damned c'est pourtant vrai, c'est exactement ça!

Merci beaucoup, le monde se lève plus lumineux qu'hier!