Bonjour, je n'arrive pas a trouver la méthode pour résoudre ce qui suit:

Comment démontrer que le triangle ABC est rectangle en A,
en ne connaissant que la longueur de BC et de AC?

C'est impossible par contre-exemple. Quelles que soient les 2 longueurs qui te sont données, tu peux imaginer avec ça un triangle qui n'est pas forcément rectangle.

théorême de pythagore

si ABC est rectangle en A alors AB²+AC²=BC²

ah ouais il manque un truc là, t'es sûr de ne pas avoir oublié une information?

Si Pythagore ne te permet pas de le faire, il faut utiliser d'autres propriétés du triangle rectagle.
Il arrive souvent que la figure fasse apparaitre un cercle circonscrit au triangle.
Il existe une propriété particulière qui relie un triangle rectangle à son cercle circonscrit (je te laisse la chercher, ça peut pas faire de mal).

Sinon, ta figure a peut-être d'autres propriétés, et il faut faire apparaitre un angle droit à l'un des sommets. Ca n'a, dans ce cas, peut-être rien à voir avec ton triangle.

Enfaite voici l'énoncé:

"ABCD est un carré de côté 1 et de centre O.
I est le milieu de [OD] et J est milieu de [AB].
Quelle est la nature du triangle CIJ?"

J'ai trouvé la longueur [JC] et [IC], maintenant il me reste a démontrer que CIJ est rectangle.

Ce qu'il te manque c'est surtout une information supplémentaire. Je te dirais de trouver la longueur |JI| et ensuite oui, le théorème de Pythagore est ce qu'il y a de plus simple.

On prend le plan complexe dans ce plan les affixes de A, B, C, D sont :

A(0)
B(1)
C(1+i)
D(i)

On a alors
O((1+i)/2)
I((1+3i)/4
J(1/2)

On veut prouver que ICJ est rectangle isocèle en I :
On note i, c, j les affixes de I, C et J
L'écriture complexe de la rotation de centre I et d'angle pi/2 s'écrit

z' = i(z-(1+3i)/4)) + (1+3i)/4
Appliqué à z = j :
z' = i(1/2 - 1/4 - 3i/4) + (1+3i)/4
= i/4 + 3/4 + 1/4 + 3i/4
= (1+i) = c

C est l'image par J par la rotation de centre I et de rayon pi/2 donc ICJ est isocèle rectangle en I

Je ne vois pas comment trouver la longueur IJ, elle n'est pas dans un triangle rectangle et elle n'a rien de particulier.

Si tu connais les nombres complexes (en quelles classe es-tu d'ailleurs ?), alors oui tu peux te placer dans le plan complexe, mais je ne pense pas que ce soit la méthode la plus pratique dans un cas simple comme celui-ci.
Sinon, tu as un carré avec des milieux, tu dois donc pouvoir facilement trouver la distance recherchée (une figure correctement annotée. t'aidera).

Tu veux IJ.
IJ²=1/16+9/16=10/16
JC²=1+1/4=5/4=20/16
IC²=9/16+1/16=10/16
Donc triangle rectangle en I.

Je suis en 2nde, je n'ai pas vu les nombres complexes

Lt_AldoRaine comment trouve tu IJ?

Pour trouver IJ, tu peux considérer H la projection orthogonale de I sur AB. Ensuite tu peux trouver IJ grâce à Pythagore dans le triangle HJI. Pour trouver HJ et HI, tu peux faire Thalès avec les droites parallèles (AD) et (HI) : on a BH/BA = BI/BD = HI/AD = 3/4.

Fais un carré de 4x4 carreaux.
Place A, B, C, D, I, J.
Pour trouver IJ, tu décompose le vecteur IJ en vecteurs parallèles (colinéaires) à AB et BC.

Oula je n'ai vu ni les vecteurs, ni les projection orthogonale

C'est simplement le point de [AB] tel que HIJ est rectangle en H.

C'est très simple en fait.
Une fois que tu as fait le rectangle de 4x4 carreaux, tu t'apercois que I est sur une intersection des lignes de la feuille. De là, tu vois sur ces lignes un triangle rectangle d'hypothénuse IJ (même deux).
A partir de là tu applique pythagore.