Bonjour j'ai un petit DM en maths la

on me propose cette equa fonctionelle pour f:

f(x+y)f(x-y)=f(x)²f(y)² (**)

On pose f(0)=1

Puis après quelques questions m'apportant à montrer que f(x) > 0
On pose g : x -> ln(f(x))

Bref j'applique ln(.) à (**) et j'obtiens:

g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)+g(y)] (***)

Et la on me demande,

exprimer g(n) en fonction de n et de g(1) pour tout entier naturel n et plus généralement g(nt) en fonction de n et de g(t) pour tout nombre réel t.

Et sincèrement je comprends pas trop comment faire.

par quoi remplacer x et y dans (***) ca c'est surement ca qu'il faut faire.

Merci d'avance.

help

Arf, je bloque aussi.

Wait.
f(x+y)f(x-y)=f(x)²f(y)²
=> f(2)f(0) = (f(1))^4
=> f(2) = (f(1))^4

On refait with f(2), ça donne ça :
f(4) = (f(2))^4 = (f(1))^8

Avec ça, tu peux essayer de démontrer par récurrence que : f(2n) = (f(1))^(4n)
Ensuite, en appliquant le ln des deux sides, ça donne :
g(2n) = 4n*(ln(f(1)) = 4n*g(1)
g(2n) = g(n+n).
Tu as :
g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)+g(y)]
On pose : x = y = n.
g(2n)+g(0) = 2[g(n)+g(n)] = 4g(n)
g(0) = ln(f(0)) = ln(1) = 0 et g(n) = 4n*g(1)
4n*g(1) = 4g(n)
n*g(1) = g(n)
En espérant que je n'ai pas fait d'erreur.

Tiens, je tente pour g(nt).
On pose x = y = t.
f(2t)*f(0) = (f(t)f(t))² = (f(t))^4
f(4t) = (f(t))^8
etc.
f(2nt) = (f(t))^(4n)
Tu démontres ça par récurrence.
g(2nt) = ln((f(t))^(4n)) = 4n*g(t)
g(2nt)+g(0) = 2(g(nt)+g(nt)) = 4g(nt)
n*g(t) = g(nt)
Voilà.

Sorry pour le quatrième post, mais c'est quel niveau, ce truc ?
J'aimerais bien voir d'autres exos du même genre.

En fait j'ai omis de détailler une des réponses:

f(x) = f(x/(2^n))^(4^n)

En appliquand Ln(.) a ca je dois avoir directement la réponse.

(ca se déduisait de l'égalité (**) en posant y = x oui)

Non en fait pas du tout.

Tu peux juste détailler quelle valeur tu as pris pour x et y, j'arrive pas à comprendre.

Ah si, bien joué

Merci

Sauf que la puissance c'est pas (4n) mais (4^n) parce qu'a chaque fois on multiplie par 4.

Du coup en partant de f(x)=f(x/2^n)^(4^n) trouvé précédemment j'ai juste à poser x = 2^n

Merci beaucoup

1 000 e post désolé mais.

en fait j'y arrive pas... mais ce qui est sur c'est que dans les premières lignes de tes calculs c'est pas 4n mais 4^n... du coup essaie de voir avec ca si tu as le temps.

J'ai trouvé

On applique ln(.) à f(x) = f(x/(2^n))^(4^n)

Ainsi : g(x)=(4^n)g(x/(2^n))

On applique x = 2^n
Et finalement on pose N = 2^n (c'est bien un entier naturel)

Oui, voilà.

(En fait, j'étais parti dormir, je m'excuse. xD)