J'ai un exercice à propos des suites et des complexes, et sur la dernière question, je sèche totalement.
Je vous restitue l'énoncé avec ce que j'ai trouvé :
On pose u = 1 + i.
On pose Sn = u^n + ù^n ( où ù désigne u barre, soit le conjugué de u ).
Voilà en gros l'énoncé. On cherche les valeurs de n pour lesquelles Sn s'annule et pour lesquelles Sn est un entier relatif. La dernière question est de prouver que cette somme Sn est en fait un entier relatif pour TOUTES les valeurs de n. Voilà ce que j'ai trouvé :
J'ai réussi à prouver que Sn = [2(V2)^n] x cos(n x pi/4).
Je prouve aussi que (Un) : cos(n x pi/4) est de période 8.
Que lorsque :
n = 8k, cos(n x pi/4) = 1
n = 8k+1, cos(n x pi/4) = 1/2
n = 8k+2, cos(n x pi/4) = 0
n = 8k+3, cos(n x pi/4) = -1/2
n = 8k+4, cos(n x pi/4) = -1
n = 8k+5, cos(n x pi/4) = -1/2
n = 8k+6, cos(n x pi/4) = 0
n = 8k+7, cos(n x pi/4) = 1/2
Tout ceci est VRAI. J'en suis sûr.
Et l'on me dit donc à la fin de prouver que Sn est un entier relatif pour toutes les valeurs de n.
Seulement voilà, prenez n=8k+1 ; alors Sn = [2(V2)^8k+1] x 1/2 = (V2)^8k+1. ( k€Z )
Et ça, c'est pas égal à un entier, ne serait-ce que pour k = 1, et donc n = 9.
Je ne sais pas où réside l'erreur, auriez-vous une piste ?
