Bonjour,

Me revoici sur l'analyse cette fois-ci...

Je bloque sur deux questions :
(1)
Montrer que si r < s, alors cl(B(x,r)) c B(y,s) avec y € B(x,r).

Voici ce que j'ai fait :
Soit a € cl(B(x,r)).
Alors il existe (xn) € (cl(B(x,r)))^N tell que xn -> a.
xn € cl(B(x,r)) pour tout n € N, donc :
d(x,xn) < r
De même, y € cl(B(x,r)) donc d'x,y) < r.
donc d(x,xn) + d(x,y) < 2r
d(xn, y ) < 2r
et en passant à la limite, d(a, y) < 2r < 2s.
====>>> et là problème puisqu'il me faut < s ...

et sinon pour la deuxieme :

(2)
Montrer que cl(B(x,r)) c {y : d(x,y) <= R }.
Là idem je ne vois pas trop ce qu'est y, x...

Merci de m'aider !!

Pour la (1), c'est faux en général (dans R^n avec la topologie usuelle par ex). Si tu n'es pas dans un cadre général, il faut donc que tu utilises les propriétés de l'espace dans lequel tu travailles.

Pour la (2), les y sont des points de ton espace.
Tu dois donc montrer que la fermeture topologique de la boule ouverte correspond à passer à l'inégalité large dans la définition de boule ouverte.

L'énoncé ne précise rien, ou alors peut etre que y appartient à l'espace ambiant, je n'en sais rien...

En fait l'énoncé c'est :
Montrer que (pour r> O) :

(a) Si y € B(x,r) alors il existe s >0 tel que B(y,s) c B(x,r).
(b) Si r < s, alors cl(B(x,r)) c B(y,s).
(c) cl(B(x,r)) c {y : d(x,y) <= r }.

Si tu n'as pas de condition sur ton espace ambiant, la (1) est fausse. R^n muni de sa topologie usuelle est un contre-exemple (mais il existe des espaces dans lequel c'est vrai...).
La condition générale est s>2r comme tu le prouves dans ce que tu as rédigé.

Pour la (2), il te suffit de montrer que tout élément z de cl(B(x,r)) est tel que d(x,z)<=r.

C'est bizarre alors que ce soit faux...
Bon bref j'essaie de faire l'autre ...

Par contre j'aurais quelques questions encore :

(1) Montrer que l'image d'un compact par une fonction continue est un compact.
J'ai fait :
Soit X un compact, f:X-> Y un e fonction continue.
Montrons que f(X) est compact.
Soit o un recouvrement ouvert de f(X).
Ainsi, f-1(o) est un recouvrement ouvert de X.
X etant compact, on extrait un recouvrement fini {O1,O2,...,On} de X.
Et donc {f(O1),f(O2),...,f(On)} est un recouvrement fini de f(X) extrait de o.

(2) Montrer qu'un espace connexe pa
On se donne un x0 € X.
Alors pour toux x € X, soit fx l'application continue qui joint x à x0.
On a X = U (fx) pour x€X et donc X est connexe.

Est-ce correct ?
Y'a -t-il d'autres méthodes ?

Et sinon comment démontrer qu'un espace compact est séparable ?

Pour la (1), il manque l'hypothèse que Y est Hausdorff pour que l'énoncé soit correct.
Sinon, la démonstration de la propriété de Borel-Lebesgue est correcte; bien qu'on pourrait te demander de détailler certaines étapes. C'est la seule preuve que je connaisse (ce qui ne veux pas dire qu'il n'y en a pas d'autre).

Pour la (2), je n'ai pas compris ce que tu montre. Donc, je ne peux pas t'aider.

Pour montrer qu'un espace X compact est séparable :
dans le cas d'un espace métrique, tu considères pour tout n, le recouvrement de l'espace par les boules de rayon 1/n.
Comme l'espace est compact, tu peux en extraire un sous-recouvrement fini. En prenant la collection des centres trouvés pour chaque n (c'est un ensemble dénombrable car c'est une union dénombrable d'ensembles finis), tu trouves un sous-ensemble dénombrable dense de X.

Dans le cas général, je ne voit pas comment le montrer.

Oups oui c'etait pr demontrer qu'un espace connexe par arcs est connexe...
;)

"En prenant la collection des centres trouvés pour chaque n (c'est un ensemble dénombrable car c'est une union dénombrable d'ensembles finis), tu trouves un sous-ensemble dénombrable dense de X. "
Euh, je ne vois pas trop....

En fait en quoi l'union de ces boules est dense ?

Je reprends:
tu veux montrer qu'un espace X compact est séparable càd qu'il existe un sous-espace dénombrable dense Y.
Je suppose X espace métrique.
Fixons n naturel. On considère le recouvrement par les boules B(x, 1/n) où x parcours X.
Comme X compact, il existe un sous-recouvrement fini par de telles boules. Appelons x_{1,n},..., x_{k,n} les centres de ces boules.
On pose Y la réunion des centres (réunion indicée sur les naturels).
Reste à montrer que Y est dense dans X.
Soit x un point de l'espace, on veut montrer que x est limite d'une suite de points de Y.
Or, pour tout n, il existe x_{i,n} telle que x appartient à la boule B(x_{i,n}, 1/n} (car la famille de ces boules forme un recouvrement de X). On pose y_n=x_{i,n}.
Alors la suite (y_n) converge vers x ce qui achève de montrer la séparabilité.

Pour ta preuve de la connexité, je ne comprend pas bien la fin. Notamment la conclusion :
"On a X = U (fx) pour x€X et donc X est connexe. "
Peut-être que cela mériterait plus de détails...

En fait, U c'est "Union" ...

Non, je ne vois pas comment le fait que tu ais que X s'écrit comme l'union des chemins implique immédiatement que X est connexe (mais je suis d'accord que visuellement, c'est intuitif). Mais je loupe peut-être quelque chose d'évident...

Moi, j'aurais plutôt fait par l'absurde :
On suppose que X est l'union disjointe de deux ouverts O1 et O2
On prend x dans O1 et y dans O2.
Comme X est connexe par arc, il existe une fonction continue f: [0,1] dans X telle que f(0)=x et f(1)=y.
Comme f est continue f^{-1}(O1) et f^{-1}(O2} sont deux ouverts qui partitionnent [0,1] contredisant sa connexité.