Bonsooir voilà j'ai une question sur un ptit calcul, ptetre ridicule mais je vois pas trop d'issue

Je cherche à montrer qu'une fonction est supérieure ou égale à 0, et dans cette fonction il ne me reste plus qu'a étudier le signe de :

e^(x) - e^(-x)

Pour montrer qu'elle peut etre égale à zero, jprend x=0 (e(0) - e(0) = 1-1 = 0), après j'aimerais pouvoir montrer avec de bons raisonnement que c'est supérieur ou égal à 0

Graphiquement je le vois bien que c'est positif par contre

exp(x)-exp(-x) = exp(-x)(exp(2x)-1).

exp(-x) > 0 donc exp(x)-exp(-x) <=> exp(2x)-1 >= 0 <=> exp(2x) >= 1 <=> x >= 0

exp(x)-exp(-x) >= 0 <=> ...

e^(x) - e^(-x) > 0 <=> e^(x) - 1/e^(x) > 0
e^(x) - e^(-x) > 0 <=> [e^(x)]^2 -1 > 0 car e^(x) > 0
e^(x) - e^(-x) > 0 <=>[e^(x) - 1][e^(x) + 1] > 0

pour tout x de IR, e^(x) + 1 > 1 donc

e^(x) - e^(-x) > 0 <=> e^(x) - 1 > 0 <=> e^(x) > 1 <=> e^(x) > e^0 <=> x > 0 par stricte croissance de e^(x)

Merci pour votre aide,
sinon j'avais une idée, est ce que vous pourriez me dire si elle est bonne ou pas ?

Faire la dérivée de e^x - e^-x

=> e^x - (- e^-x) = e^x + e^-x > 0 Donc strictement croissant

Or pour x=0 --> e^(0) - e^(-0) = 1 - 1 = 0

Donc vu que c'est croissant e^x - e^-x >=0 (égal à 0 pour x=0)

Oui tu peux aussi faire ça. Par contre e^x - e^-x >=0 sur R+.
Comme la fonction est strictement croissante et nulle en 0, elle est négative sur R-.

Ouai justement y a que l'intervalle [0;+infini[ alors c'est bon

Ok bon bah encore merci ! et bonne nuit

Ya que cet intervalle qui m'intéresse* jvoulais dire ><" je suis vraiment crevé bref je vais dormir ou alors ça va s'aggraver

Ah oui c'est bon alors. Bonne nuit.