Salut tout le monde,

Alors j'ai un problème pour faire un exo sur les dérivées que voici :

Soit la fonction f définie par : f(x)=(x²-4)/(2x-5) et Cf sa courbe.

On donne sur [3;+oo[ la fonction g définie par g(x)=(f(x))²
Calculer g'(x) et déterminer son signe sur [3;+oo[

Le problème c'est que je trouve comme dérivée quelque chose comme : g'(x)=8x^5-80x^4 etc... et donc que je ne peux pas trouver le signe de celle-ci .

Je précise qu'avant cet exercice, un autre demandait de calculer la dérivée de f puis d'étudier ses variations (je sais pas si ça peut être utile pour la question où je bloque).

J'espère que vous pourrez m'aider .
Merci.

g'=2f'*f
tu as déjà etudié f, étudie f'

Je comprend pas pourquoi g' = 2f' * f .

C'est une fonction composée, je ne sais plus si on voit ça en première...

la fonction composée gof a pour dérivée g'[f(x)] x f'(x)

donc en l'occurence, 2f(x) x f'(x). Tu connais cette formule ou pas ?

Ah oui ! Je crois que c'est plus au programme mais on en a vu quelques unes.
J'ai noté que (u^n)' = n*u'*u^(n-1) C'est bien ça ?

Oui voilà Normalement on voit la dérivabilité des fonctions composées par des fonctions affines

Bah là, f = u et n = 2

Ok je vais calculer la dérivée et étudier son signe et voir si ça correspond bien à la courbe que j'ai trouvée sur ma calculatrice pour être sûr.

Je trouve que g'(x) est négative sur [3;4[
Nulle pour x = 4
Positive sur ]4;+oo[

Ça me parait bon .

Quand je trace ma fonction je trouve pas ça Mais j'ai eu la flemme de faire le calcul.

C'est bizarre, mais bon tes résultats paraissent cohérents en soi. En tout cas moi je vois la dérivée positive sur [3;+oo[

J'ai tapé : g(x) = 2 (x² - 4) / (2 x - 5) (2 x² - 10 x + 8) / (2 x - 5)² dans le traceur de courbe et ça donne ça : http://s2.noelshack.com/om/old/up/courbe-48bfb2a611.png .
Donc apparemment ça correspond à ce que j'ai trouvé.

Mais ta fonction g c'est [(x²-4)/(2x-5)]²

Oui c'est ça, celle que j'ai tracé c'est la dérivée. Si je trace la fonction ça donne : http://s2.noelshack.com/om/old/up/courbe2-40a11b7e9.png .
Avec le tableau des signes que j'ai fais je peux dire que puisque la dérivée est négative sur [3;4[ alors g est décroissante sur cet intervalle, en x=4 elle s'annule et change de signe donc c'est un extremum de g et sur ]4;+oo[ elle est positive donc g est croissante sur cet intervalle. Ça correspond bien (enfin je pense ).

Je crois que j'ai inversé . J'ai fais 2*f(x)* f ' (x) alors que c'était 2*f ' (x)*f(x) mais ça change rien je crois .

Effectivement ça marche, j'avais mal vu sur ma calculette.

Et oui oui, ça revient exactement au même.

Au fait, pour voir si t'as bon, tu peux tracer la primitive et non la dérivée hein, et simplement regarder sa monotonie.

Mais le fait qui est 2*f ' (x) et non f ' (x) tout seul ça change quelque chose pour l'étude du signe ?

Bah non, la multiplication est commutative.

Donc 2 * f'(x) * f(x) = 2 * f(x) * f'(x) ...

Ok merci beaucoup pour ton aide en tout cas . Bonne nuit .