Bonjour à tous.
J'ai besoin d'aide pour finir mon DM de spé.

Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres :
an = 4*10^n - 1
bn = 2*10^n - 1
cn = 2*10^n + 1

1) Calculer an, bn et cn pour n = 1, 2 et 3. Fait.
2) a) Démontrer que l'écriture de an en base 10 est :
an = 3*10^n + 9*10^(n-1) + 9*10^(n-2) + ... + 9*10 + 9
J'ai essayé de le faire par récurrence, mais j'ai du mal au niveau de l'hérédité, help svp.
b) Combien les écritures décimales de an et cn ont-elles de chiffres ? Par instinct je dirais n+1, mais comment le démontrer proprement ?
c) Montrer, en utilisant les congruences, que an et cn sont divisibles par 3.
3) a) Montrer que PGCD(bn,cn) = PGCD(bn,2)
b) En déduire que bn et cn sont premiers entre eux.

Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait vraiment sympa de sa part.
Merci d'avance.

Pour la 2)a), sois astucieux :
9 + 9*10 + ... + 9*10^(n-2) + 9*10^(n-1) + 3*10^n
= 9 + 9*10 + ... + 9*10^(n-2) + 9*10^(n-1) + 9*10^n -6*10^n
= 9 * (1+10+10²+...+10^n) -6*10^n
= 9 * (10^(n+1) -1)/(10-1) -6*10^n
= 10^(n+1) -1 -6*10^n
= 10*10^n -6*10^n -1
= 4*10^n -1 = a_n
Tu peux faire dans l'autre sens pour que ce soit élégant.

a_n peut s'écrire sous la forme :
3*10^n + sum 9*10^k , k = 0 to n-1
Dans le sigma, on a (n-1-0+1) = n chiffres.
Avec le 3*10^n, ça fait n+1.

Pour c_n, je n'ai pas vraiment d'idée.
c_n = 2*10n +1 = 2(10^n -1) + 3 ?
Je pense que ça pourrait t'éclairer.
c) Avec ce que tu as, congruence facile.
3)a) PGCD, je n'y ai pas encore pensé.
b) Déduction à partir du PGCD.