Bonsoir !

J'aurais besoin de votre aide pour un exercice d'arithmétique pourtant assez simple...

Soit n appartient à N-(0,1), déterminer Dn = PGCD( n^2 +1, n(n^2 -1) )

Je ne vois pas quoi utiliser, j'ai essayé avec l'algorithme d'Euclide mais ça ne semblait pas marcher...

Merci !
++

Up !

Apparemment c'est 1 quand n est pair, et 2 quand n est impair.

Merci !

Oui, j'ai bien vu ça, et j'ai réussi à prouver que 2/Dn quand n est impair, mais ... je bloque pour la démonstration =/

Y'a peut-être plus simple mais en théorie ceci doit marcher :

- Si n est pair tu dois montrer que le PGCD c'est 1. Donc il suffit de trouver une relation de Bezout, c'est-à-dire trouver deux entiers a et b (qui vont sûrement dépendre de n) tels que a(n²+1) + bn(n²-1) = 1. D'après le théorème de Bezout ça montre que n²+1 et n(n²-1) sont premiers entre eux.

- Si n est impair, pour montrer que 2 divise Dn t'as dû écrire n = 2k+1, puis montrer que n²+1 = 2*chose et n(n²-1) = 2*bidule. Si t'arrives à montrer que chose et bidule sont premiers entre eux, ça montrera que le PGCD c'est 2. Et pour ça tu peux faire pareil, trouver une relation de Bezout entre eux.

Merci !