Je dois déterminer si les familles suivantes sont des bases de R3. Et si oui, de donner les coordonnées de (x,y,z) dans cette base.

J'ai ces différentes familles de vecteurs:

1-(u,v,w) avec u=(1,-1,1), v=(2,1,0) et w=(-1,0,1).
2-(u,v,w,r) avec u=(1,2,3), v=(1,3,2), w=(-1,2,O) et r=(1,1,1).
3-(u,v,w) avec u=(1,-2,-2), v=(-3,5,-1) et w=(-1,1,-5).
4-(u,v,w) avec u=(a+1,4,a-1), v=(-2,1,-2) et w=(a+1,2,a) où a est un paramètre réel.

Je qu'une famille de trois vecteurs de R3 forme une base de R3 si et seulement si elle est libre.

La première me semble libre puisque je n'ai pas réussi à exprimer un vecteur en fonction des 2 autres.
La troisième ne l'est pas puisque w=2u+v.
Pour la seconde et la dernière je ne sais pas trop comment m'y prendre même si je pense que la dernière est libre.

Pourriez me donner quelques tuyaux concernant la seconde partie de mon exercice où il faut donner les coordonnées s'il vous plait ?

Merci d'avance pour vos réponses

En fait tu pose 3 (ou 4 pour ton 2e cas) scalaires A,B,C réels tel que A*u + B*v + C*w = (0,0,0).

T'obtiens un système de 3 équations à 3 inconnues (une pour chaque coordonnée) et tu résous :
_ si t'as tous tes scalaires qui sont nuls alors le système est libre
_ sinon t'as une équation de liaison entre les vecteurs

Pour la deuxième partie tu écris pareil X=(x,y,z)=A*u + B*v + C*w et tu détermines A,B,C qui sont les valeurs des coordonnées

Merci beaucoup pour ta réponse, je vais voir ce que sa donne.

pour la seconde c'est immédiat

4 vecteurs donc système lié

J'aimerais savoir s'il y a d'autres méthodes plus simples pour résoudre cet exercice.

up

Tu travailles dans R3 donc déjà toute famille de 4 vecteurs ou plus de R3 est liée.
De même, toute famille de 2 vecteurs ou moins n'est pas génératrice.
En gros il faut que ton système de vecteurs soit de cardinal 3 pour être une base de R3...
Ensuite, si tu es en dimension finie, pour montrer qu'un système de n vecteurs est une base d'un espace vectoriel E de dimension n, tu peux montrer soit que le système est libre soit qu'il génère l'espace.
En général il est plus simple de montrer la liberté de la famille.
Pour ce faire, il faut montrer que si (e1,...,en) est ta famille, pour tout scalaires u1,...,un : u1*e1+...+un*en=0 implique u1=...=un=0.

ah ok, merci de ce complément je comprend mieux.

Tu trouves le 4?
Et tu le fait en l'imprimant?

j'ai la flemme mais si quelqu'un veut expliquer l'approche des déterminants ça se fait en 5 min