Bonjour,

Je suis en première année de prépa intégrée et je cale pour trouver le signe de cette expression :

f(x) = 2 - 2.cos(x) - x.sin(x)
x variant de 0 à 2Pi

Sur le graphe, on voit bien que c'est positif, mais comment le prouver rapidement ?
Je vous faire part de mes recherches :

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Méthode 1 : borner la fonction par des inégalités

-1 < cos(x) < 1 donc -2 < -2.cos(x) < 2

-1 < sin(x) < 1 donc -x < x.sin(x) < x
Or 0 < x < 2Pi et -2Pi < x < 0
Donc -2Pi < x.sin(x) < 2Pi

Et ainsi -2Pi - 4 < -2.cos(x) + x.sin(x) - 2 < 2Pi

Du coup ça ne me permet pas de dire que c'est positif :/

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Méthode 2 : essayer de montrer que 0 minore f sur [0;2Pi]

On étudie les variations de f sur [0;2Pi]
f '(x) = sin(x) - x.cos(x)

Dur dur de trouver le signe de ça ...
On peut toujours re-dériver : f ''(x) = x.sin(x)

On peut trouver le signe de f '', en déduire le tableau de variation de f ', en déduire le signe de f ', en déduire le tableau de variation de f, et ainsi minorer f.
Mais bon, c'est plutôt long (sachant que j'ai besoin de ce signe juste pour enlever des valeurs absolue, ce n'est pas une question à part entière).

Du coup, auriez-vous une meilleure méthode ?