Bonsoir!

J'ai un exercice sur les nombres complexes que je ne comprends absolument pas.

Déterminer les nombres complexes z tels que:

a) z² + 2z(barre) - 1 = 0

Alors la il faut écrire z sous la forme x+iy et z(barre) son conjugué, mais les calculs sont trop durs et je ne sais pas sur quoi arriver..

b) z² + |z²| = 2(1+i)

La je suis totalement bloqué...

Si vous pouviez m'aider ce serait vraiment adorable! car j'ai un ds commun de 4h samedi, et les nombres complexes je comprends rien!!

Merxi

z^2 = x^2 - y^2 +2ixy
2zbarre = 2x - 2iy

x^2 -y^2 -2x - 1 + 2ixy -2iy = 0
partie réelle et imaginaire doivent être nulles donc
x^2 - y^2 - 2x - 1 = 0
2xy - 2y = 0

(x-1)^2 - y^2 - 2 = 0
y= 0 ou x = 1

si y =0 ça donne ...
si x= 1 ça donne ...

Erreur de signe c'est +2x mais ça change rien à la méthode

déja merci pour ta réponse.

je ne comprends pas l'étape : (x-1)^2 - y^2 - 2 = 0
comment en est tu arrivé là?

et donc on remplace dans l'expression, ce qui nous fait si x=1, y=racine de 2
et si y=0, aucune solution?

et pour le b) as tu une piste?

merci beaucoup

(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
donc x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1

je crois avoir trouvé:

il y a trois nombres complexes qui vérifient l'équation de départ :

z=1+2i ou z= 1-2i ou z=1
c'est bien ça?

Par contre pour le b) je bloque toujours...

L'équation b commence par regarder les parties imaginaires puisque Im(|z^2|) = 0

z = a+ib
=> z² = a²-b²+2abi
=> |z²| = sqrt((a²-b²)²+(2ab)²)
=> |z²| = sqrt(a^4-2a²b²+b^4+4a²b²)
=> |z²| = sqrt((a²+b²)²) = a²+b²

z² + |z²| = 2(1+i)
<=> a²-b²+a²+b²+2abi = 2(1+i)
<=> 2(a²+iab) = 2(1+i)
<=> a² = 1 et ab = 1

Bref, termine.

Re(z²) = a²-b² ; Im(z²) = 2ab
Donc : |z²| = sqrt((a²-b²)+4a²b²), pas ce que tu as cité.

(a²-b²)²*