Bonjour, c'est encore moi, je bloque sur un exercice...
Voici l'énoncé :
Soit (X,t) un espace mesurable. Montrer que les énoncés suivants pour une fonction f de X dans R sont équivalents :
(a) Pour tout a dans R, l'ensemble A = { x € X ; f(x) > a } est dans t.
(b) Pour tout a dans R, l'ensemble B = { x € X ; f(x) <= a } est dans t.
(c) Pour tout a dans R, l'ensemble C = { x € X ; f(x) >= a } est dans t.
(d) Pour tout a dans R, l'ensemble A = { x € X ; f(x) < a } est dans t.

Par exemple si j'essaie de montrer :

(a) => (b) :
Je suppose A dans t.
t est une tribu (je pense, ce n'est pas précisé dans l'énoncé...) donc le complémentaire de A = B est aussi ans t.
Idem pour (b) => (a), (c)=> (d) et (d)=>(c).

Mais est-ce correct ?
Comment montrer (b) => (c) ?

Merci de m'aider !

Oui t est une tribu, par définition d'un espace mesurable. a <=> b et c <=> d c'est effectivement clair.
Chacun des ensembles A,B,C et D est l'image réciproque par f d'un intervalle de R.
Tu peux écrire un intervalle ouvert du type ]a,+oo[ comme union dénombrable d'intervalles fermés du type [a+1/n,+oo[. Et inversement avec une intersection dénombrable. Après, comme la réunion et l'intersection passent à l'image réciproque, et qu'une tribu est stable par union/intersection dénombrable, ça marche.

Ok donc ce que j'ai fait est correct...
Je comprends bien ce que tu dis, mais comment l'utilsier dans l'exercice ?

Par exemple pour montrer (c) => (a). Supposons que (c) est vrai. Soit a un réel quelconque.
Comme tu as supposé (c), tu as f^-1([a+1/n,+00[) appartient à t pour tout n.
Donc U(n€N*) f^-1([a+1/n,+00[) appartient à t (stabilité par union dénombrable).
C'est à dire f^-1(U(n€N*)[a+1/n,+00[) appartient à t, soit encore f^-1(]a,+00[) appartient à t. D'où (a).

Par un raisonnement analogue tu peux montrer que (c) => (a).
Et comme on a (a) <=> (b) et (c) <=> (d) ce sera bon.

Ok merci j'ai compris par contre pourquoi on a :
"Comme tu as supposé (c), tu as f^-1([a+1/n,+00[) appartient à t pour tout n" ?
En fait c'est parce que C = f^-1 ([a,+oo]) et tu dis que
[a,+oo] = [a+1/n,+oo] ?

(c) : Pour tout b dans R, l'ensemble C = { x € X ; f(x) >= b } est dans t.

J'applique ça avec b = a + 1/n. Et alors effectivement C = f^-1([a+1/n,+00[)

Le problème c'est que a n'est jamais atteint alors qu'on >= dans la définition de C ?

Non mais je me fixe un a au début, je prends n dans N*, et je dis que d'après (c),
{ x € X ; f(x) >= a+1/n } appartient à t.
Or { x € X ; f(x) >= a+1/n } c'est précisément f^-1([a+1/n,+oo[).
Et après je prends la réunion de tous ces ensembles...etc.

Mais ça marche même si on prend une valeur particulière de b ?

Non c'sest bon j'ai compris !
Par contre il faut montrer quelle autre implication ?

Si c'est vrai pour tout b, c'est en particulier vrai pour b = a+1/n, et ce quelque soit n dans N*.

Après il faut montrer (a) => (c).
Pour ça il faudra exprimer un intervalle fermé comme intersection d'intervalles ouverts, et appliquer la même méthode.

Je ne vois pas quel intervalle fermé je dois prendre...

Tu supposes (a) et tu veux montrer (c). Donc tu prends un réel a quelconque et tu veux montrer que f^-1([a,+oo[) appartient à t.
Donc faut exprimer [a,+oo[ avec des intervalles ouverts, pour pouvoir utiliser (a).

ok... le pb c'est que j'ai juste :
[a , +oo [ = U([a , a+n[)
je ne vois pas comment écrire cet intervalle autrement...

C'est pas faux mais ça va pas t'être vraiment utile.

[a,+oo[ c'est l'intersection sur n€N* des ]a-1/n,+oo[ "six jeunes m'abusent".

Ok ok...
Donc en fait je pose mon b = a - 1/n.
donc j'aurai :

f^-1 ( ]a-1/n , +oo[ ) dans t
en passant à l'intersection :
f^-1 ( [a , +oo[ ) est dan t
et donc C est dans t.
C'est bien ça ?

Par contre il faut que je réfléchisse pourquoi
"[a,+oo[ c'est l'intersection sur n€N* des ]a-1/n,+oo[ "
j'ai du mal à voir ça... !

Je comprends la construction en faisant un dessin, mais j'ai l'impression que a n'est jamais atteint, c'est ça qui me perturbe le fait qu'on aie un intervalle fermé en a à la fin.. !
Même si on se rapproche de plus en plus de a ...

Si ça te perturbe, montre-le tranquillement par double inclusion.

En tout cas merci pour ton aide précieuse !