Bonjour,
parcourant des annales je suis tombé sur une question qui me demande de montrer qu'une fonction de R²->R est C^1 (l'exo est assez trivial pour le coup), la fonction étant définie sur R²\{(0,0)}, avec un f(0,0)=0, le CPC fait l'affaire pour la continuité C1.
Mais par la suite on nous demande ce qu'on peut dire par rapport à sa différentiabilité seconde.
Dans un premier temps j'étais tenté d'utiliser le théorème de Schwartz (puisque on a clairement des dérivées partielles secondes en (0,0) différentes) mais comme le fait que f ne soit pas C² n'est pas équivalent a dire que f est deux fois différentiable, je voudrais savoir comment procéder.

Merci pour le coup de main

Tu as essayé d'étudier directement la différentiabilité de l'application df : R² -> L(R²,R) ?

Non, j'avoue ne jamais avoir eu recours a cette technique, ni même vraiment comprendre comment je peux le faire, techniquement j'ai df(x,y)=df/dx(0,0)x+df/dy(0,0)y c'est bien ça ?
Donc pour montrer ça différentiabilité, je fait df(x,y)-df(a,b)-d²f(a,b) et que je prouve que c'est un o||(x,y)-(a,b)|| ?
J'ai l'impression de me perdre un peu en fait^^

Il suffirait de montrer que les dérivées partielles secondes existent et sont continues pour montrer qu'elle est C². Mais comme tu dis que Schwartz marche pas, c'est qu'elle est pas C².
Du coup on peut essayer de revenir à la définition : elle est deux fois différentiable si l'application différentielle df est elle-même différentielle. df c'est l'application de R² dans l'espace des formes linéaires de R² dans R, qui à un point associe la différentielle de f en ce point.
df est une application entre deux evn donc tu peux étudier sa différentiabilité.
Si sa différentielle existe ça sera une application d²f : R² -> L(R²,L(R²,R)).
Pour ça faut calculer df(x+h,y+k) - df(x,y) et montrer que c'est égal à un truc linéaire + un o(||(h,k)||).

(df(x,y) c'est df/dx(x,y)dx + df/dy(x,y)dy, ce sont des formes linéaires, pas des nombres)

Enfin bon y'a peut-être plus simple dans ton cas mais le calcul diff c'est pas mon truc.

Oui moi non plus ça a jamais été mon truc faut croire^^

J'essayerai de voir ça avec mon chargé de TD, mais la solution qui m'était venu a l'esprit entre temps c'était de montrer que df/dx n'était pas différentiable (ou df/dy), ça devrait régler le problème non ?

Je pense que oui...

Bon j'avoue que ma solution finale est stupide, et inintéressante. Par contre j'essayerai de voir ta solution qui est quand même vraiment plus propre (modulo mon manque de compréhension envers cette notation un peu nouvelle de la différentielle^^)

Bonne soirée et merci

Non c'est pas stupide et si ça marche c'est beaucoup simple.

De rien, bonne soirée.

beaucoup plus* simple