f(x)=x si x appartient à Q
g(x)=x^3 si x appartient à R

J'ai prouvé f non surjective, comment maintenant prouver l'injectivité.
J'ai fait f(x)=f(y) <=> x=y si (x;y)€Q^2 ou (x;y)€(R-Q)^2
ou x=y^3 si (x;y)€(IR-Q)xQ

Mais ensuite?

Merci d'avance

On ne peut pas dire que x=y^3 si (x;y)€(IR-Q)xQ est absurde puisque le cube d'un rationnel est forcément rationnel ?

x = 2 € Q, y = 2^(1/3) € R\Q.
f(x) = f(y) = 2

C'est pas plutôt le contraire, elle est surjective mais non injective...

Oui je crois...

Pour montrer qu'elle n'est pas injective : f(2^1/3)=f(2)
pour montrer qu'elle est surjective :
soit x€R

• Si x€Q f(x)=x

Sinon x^1/3 n'est pas dans Q (car (x^1/3)^3=x n'est pas dans Q)
donc f(x^1/3)=x
Donc f est surjective.