Énoncé :
Soient A une matrice rectangulaire à p colonnes et q lignes, et B une matrice rectangulaire à q colonnes et p lignes.

Montrez que det(Ip - AB) = det(Iq - BA)

J'ai essayé comme l'a dit le prof de faire un produit de matrices (dont les éléments sont des matrices) triangulaires pour obtenir une matrice triangulaire de matrices (ah ok, ça me fait penser à un Xzibit ça), dont le déterminant sera facile à calculer.
Le problème c'est que j'ai essayé tous les cas possibles (A en haut, Ip en bas, Iq à droite B à gauche, et toutes les permutations possibles et imaginables)

Pour info, sur les déterminants & matrices on sait :
- Faire des combinaisons linéaires entres lignes/colonnes
- Toutes formes n-linéaires antisymétrice est proportionnelle au déterminant relativement à la base canonique
- Inverser une matrice par la formule de Cramer, et donc transposer une matrice
- Déterminants des matrices triangulaires, et de Van Der Monde.
- peut être d'autres trucs que j'ai oublié là sur le coup.

J'en ai marre

Une indication

Si t'es dans Mn(lR) ou Mn(C) c'est très simple de le montrer mais après dans K quelconque ça doit être plus chiant

Ah oui, en effet, j'ai pas précisé dans quel ensemble j'étais.
Dans Mp,q(K) pour A, et dans Mq,p(K) pour B, donc ouais, K quelconque

Bon dans lR ou C :

On commence avec A inversible
On a det(In + AB) = det(A-1)det(In + AB)det(A) = det(In + BA)

Soit maintenant A quelconque, GLn(C) est dense dans Mn(C)
Il existe une suite Ap de matrices inversibles tel que Ap -> A

det(In + ApB) = det(In + BAp)
Or les applications
X |-> det(In + XB) et X -> det(In + BX) sont continues sur Mn(C)

donc par passage à la limite lorsque p-> +oo on obtient

det(In + AB) = det(In + BA)

J'ai pas encore fait de topo, mais bon, vu que tu as explicité la densité ça m'a pas posé de problème de compréhension. Merci =)

Par contre, l'autre difficulté du problème réside dans le fait que ce ne sont pas des matrices carrées =/
Là tu n'as fait que les cas où p = q.

Mais bon, je trouve ça pas mal quand même le coup des applications oO (perso je n'y avais pas pensé >< Mais d'un côté j'ai pas pensé à traiter le cas p = q en premier faut dire :x )

Et ta preuve n'est pas généralisable pour les matrices rectangles, si ?

de toute façon la démo n'est même pas généralisable à K quelconque donc là je te l'ai donnée juste pour le fun

Ouais, mais je trouve ça tricky quand même

rg(A) = r
A € Mnp(K)
A = P-1 Jr,np Q

P€ GLp(K)
Q€ GLq(K)

On écrit
B = Q-1 C P (c'est possible de l'écrire comme ça)

Avec
C =
(C1 C2)
(C3 C4)

Tu calcules AB et BA de cette manière

En cherchant les bonnes tailles à attribuer à C1, C2, C3 et C4

Ben de toute façon le nombre de ligne de C ça sera forcément q, et le nombre de colonnes de C c'est p. (ceci était une remarque inutile )

Par contre j'ai pas compris le rg(A) = r, tu peux expliciter la notation stp ? ><

Ah, c'est le rang de la matrice (on vient de le voir à l'instant … enfin voir, on a eu la définition au contrôle quoi )

Ouais ben merci, je vais jouer avec ça