Bonjour, je n'arrive pas à faire la dernière question d'un exercice.

Les premières questions demandent de trouver les fonction définies sur IR et solutions sur IR des équations suivantes:
(E) xy'+y=chx
(H) xy'+y=0
(E1) -sh(2x)y'+2y=0

Et on me demande : "déduire de ce qui précède les solutions définies sur IR et solution sur IR de ll'équation différentielle
(E2) -x*sh(2x)y'' + ( 2x-2x*ch(2x)-sh(2x) )y' + 2y=0 "

Je n'arrive cependant pas à faire le lien entre cette équation et les précédentes.
Toute aide me serait fort utile. Merci

Je pense avoir trouvé.

Essaie de dériver l'équation (E1) et de la multiplier par x, puis tu devrais retrouver des morceaux de l'équation (E2) et de (H).

Mais je suis pas sûr que le raisonnement soit très rigoureux. Il faudra peut-être vérifier les solutions (ou partir de l'équation E2)

Oui, pour la rédaction je verrais bien. Et effet il faudra surement réinjecter dans (E2) pour vérifier que ce qu'on a trouvé est bien solution

Et merci ! En effet, en dérivant (E1), en multipliant par x, et enfin en ajoutant (E1) on retombe sur (E2).

Je trouve bizarre que (E) ou (H) n'interviennent pas. Je vais me lancer dans la résolution, on verra bien

Désolé, j'ai compris au moment de poster. En fait (H) intervient puisqu'on peut dire grossièrement que
(E2)=x*(E1)'+(E1)

En réalité je ne sais trouver la solution...

Les solutions de E1 sont les fonctions g telles que g(x)=K*th(x), K paramètre réel
La solution de H est la fonction nulle.

Comment trouver les solutions de E2?

Bonjour, pouvez vous vérifier mon raisonnement ? Il me semble juste, mais la réponse trouvée me parait étrange.

soit h(x)=-sh(2x)y'+2y, y fonction de classe C2

On remarque que y verifie (E2) <=> x*h'+h=0
<=> h verifie (H)
<=> h est la fonction nulle
<=> h(x)=0
<=> -sh(2x)y'+2y=0
<=> y verifie (E1)
<=> y(x)=K*th(x), K constante

Merci d'avance

Ah oui, j'avais commencé à répondre hier à ton problème, mais j'arrivais plus à répondre et donc j'ai abandonné.

Les solutions de (E2) ne sont pas la fonction nulle. Tu as dû faire une erreur.

Ce sont les fonction h tels que h(x)=K/x, K€R.

Après, vu qu'on te demande une fonction définie sur R, il faudra peut-être fixer des valeurs pour K. J'essaie quand même de trouver une soolution

Un point important est que je cherche les solutions sur IR. h telle que h(x)=K/x ne peut être prolongée par continuité que si K=0, sinon h tendrait vers l'infini en 0.

En fait je viens de vérifier qu'en remplaçant y(x) par k*th(x) dans (E2) cela marchait. La première fois que j'avais essayé, je m'étais trompé dans la dérivée de th.
Cela me parait tout de même bizarre que, pour les solutions sur IR, cette équation soit équivalente à (E1).

Mais finalement ça n'est pas la peine de vous faire perdre du temps, on verra bien.