Salut !

Alors on me demande de prouver que pour tous points A, B et C du plan et pour tout point M, on a :

MA.BC + MB.CA + MC.AB = 0 (en vecteurs)

Donc je l'ai fait avec des relations de chasles en introduisant MB partout, puis en factorisant.

Le problème, c'est qu'on me demande d'en déduire que les trois hauteurs du triangle ABC sont concourantes en un point H appelé orthocentre du triangle. Et j'ai aucune idée de la "déduction" que je pourrais faire de l'égalité que j'ai prouvée.

Voilà voilà, si vous pouviez me lancer sur la voie, ce serait sympa !
Merci d'avance

Comment traduire le fait qu'un point M appartient à la hauteur issue de A en termes de produit scalaire ?

AH j'suis con ! AH.BC = 0 !

Merci bien ! :D

Par contre comment je rédige ça ?

Soit H l'intersection de la hauteur issue de A et de la hauteur issue de B.
Alors on a HA.BC = 0 et HB.CA = 0.
Or HA.BC + HB.CA + HC.AB = 0
Donc HC.AB = 0 donc H appartient à la hauteur issue de C. Donc H est l'intersection des 3 hauteurs.

Ah oui forcement deux hauteurs vont sont croiser, il suffit de montrer que la troisième arrive au même point ^^

Merci beaucoup

Petit

J'ai fait la question suivante sans problème, mais je bloque de nouveau à celle d'après.

On me demande de justifier que le point K défini par l'égalité vectorielle suivant : OK = OA + OB + OC est l'orthocentre du triangle, avec O point de concours des médiatrices.

Merci d'avance pour l'aide !

Siouplait

On veut montrer que K est l'orthocentre, donc le point de concours des hauteurs.
On commence par montrer que (AK) est perpendiculaire à [BC].
Soit I le milieu de [BC].
OK = OA+OB+OC = OA+OI+IB+OI+IC = OA+2OI
OK - OA = 2OI
AK = 2OI
Or (OI) est perpendiculaire à [BC] parce que c'est la médiatrice de [BC]
Donc (AK) est perpendiculaire à [BC].
Pis on fait pareil avec les autres côtés.

Merci beaucoup ! J'avais essayé d'introduire le barycentre, vu qu'après on en parle

Petit

J'ai passé avec brio les questions suivantes
Mais la dernière question du DM c'est de trouver une condition pour que, étant donné 2 points A et B et un point H, il existe un unique triangle dont A et B soient sommets et H orthocentre.

J'ai trouvé la condition : qu'ils ne soient pas alignés (du moins je pense) et je voudrais le montrer par l'absurde (en considérant que A B H sont alignés, on arrive à un résultat stupide), mais je sais pas comment m'y prendre

Des idées ?
Merci d'avance

HELP ! C'est urgent siouplait !