Bonjour, je bloque sur un exercice concernant une suite définie implicitement, voici l'énoncé:
Pour n appartenant à N*, notons Fn la fonction qui à x appartenant à R+ associe x^(n+1)+x^n+2x-1
1) Montrez que pour n appartenant à N*, l'équation Fn(x)=0 admet une unique solution dans R+, que l'on notera Xn.
2)Explicitez X1.
3)Prouvez l'inégalité Xn<1/2

Pour la première question j'ai utilisé le théorème de la bijection, j'ai explicité X1 mais je n'ai aucune idée de la façon de procéder pour répondre à la question 3, quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci d'avance

C'est très facile de montrer que pour tout x >= 1/2, Fn(x) > 0.

Pas très bien compris...

Je ne parle pas de x, mais de Xn

Si x >= 1/2, 2x-1 >= 0 et x^(n+1)+x^n > 0. Donc Fn(x) > 0.
Donc nécessairement xn < 1/2.

Je ne comprend pas le raisonnement...

Ce qu'on montre, avec Prau, c'est que pour tout x >= 1/2, Fn(x) > 0, et donc aucun x >= 1/2 n'est solution de Fn(x) = 0.
Comme Xn est la seule solution sur R+ de Fn(x) = 0, on en déduit que Xn < 1/2.

Comment j'ai pu ne pas comprendre ça...
Merci beaucoup !!

Je dois maintenant trouver le sens de variation de la suite (Xn)n>=1, et encore une fois, je bloque...

Quand t'as des fonctions définies implicitement par des suites comme ça, généralement faut calculer Fn+1(xn+1)-Fn+1(xn) puis utiliser que Fn+1 est croissante ou décroissante, ou faire la même chose avec Fn mais en gros tu peux pas calculer xn+1 - xn directement