Salut à tous.

Je bloque sur une petite question dans mon DM de maths :

Pour n entier naturel non nul, on considère la fonction fn définie sur IR par :

fn(x) = 1+xe^(-x)+x²e^(-2x)+ ... + x^(n)e^(-nx)

Soit n un entier naturel non nul. Démontrer que :

Pour tout réel x, f(x)-fn(x) = x^(n+1)e^(-(n+1)x)*f(x) avec f(x) = e^x/((e^x)-x)

Je ne vois pas par où commencer, merci de m'aider.

1+q+q²+...

fn(x) est une somme de termes d'une suite géométrique.

Oui c'est une suite géométrique de raison xe^-x, mais je fais quoi avec ça ?

T'as une formule pour simplifier une somme de termes de suite géo

Ah oui. Alors pour l'instant j'en suis arrivé à

f(x)-fn(x) = e^x/((e^x)-x) - (1-(xe^-x)^n)/(1-xe^-x)

Mais je bloque un peu.

Utilise le fait que 1/(1-xe^-x) = f(x).

C'est ce que je fais mais je n'arrive pas au résultat demandé.

fn(x) = (1-(xe^-x)^(n+1))/(1-xe^-x) = (1-(xe^-x)^(n+1))f(x)

Donc f(x) - fn(x) = f(x) - (1-(xe^-x)^(n+1))f(x) = f(x)[1 - (1-(xe^-x)^(n+1))] = f(x)(xe^-x)^(n+1) CQFD

Merci beaucoup !