Z = f(z) = z-2+i/(z+2i)

1. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et y. Vérifier que Re(Z) = (x²+²-2x+3y+2)/[x²+(y+2)²].

J'ai remplacé z par x + iy.

Z = (x + iy -2 +i)/(x + iy + 2i)
Z = [x-2 +i(y+1)]/[x+i(y-2)]
Z= [(x-2)+i(y+1)][x-i(y+2)]/[x²+(y+2)²]

Mais après je bloque.

ben tu y es presque développe le numérateur

développe réduit et tu dois pouvoir isoler partie réelle et imaginaire

Il faut garder les i ?

Si on a z=x+iy alors Re(z)=x et Im(z)=y

[x²-ix(y+2)-2x+2i(y+2)+ix(y+1)-i(y+1)*i(y+2)]/[x²+
(y+2)²]

Y a des i partout. Comment on les élimine ?

[x²-ix(y+2)-2x+2i(y+2)+ix(y+1)-i(y+1)*i(y+2)]/[x²+
(y+2)²]

Tout les termes ou tu as des i c'est la partie imaginaires et la ou il n'y en a pas c'est la partie réelle

x²-ix(y+2)-2x+2i(y+2)+ix(y+1)+(y+1)(y+2)

Le dénominateur est correct ?

Comment mettre tous les i du même côté ?

met les i ensemble, c'est a dire que tu factorise par i tout les termes ayant des i, puis sépare ta fraction en 2 pour isoler Re et Im

x(x-2)+(y+1)(y+2)+ix(y+1)+2i(y+2)-ix(y+2)

C'est bon ?

Est-ce que j'ai fais une erreur dans les calculs ?

Z =
[x(x-2)+(y+1)(y+2)+i(x(y+1)-i(y+2)(x-2))]/[x²+(y+2
)²]

Re(Z] = [x(x-2)+(y+1)(y+2)]/[x²+(y+2)²]

Im(Z) = [i(x(y+1)-i(y+2)(x-2)]/[x²+(y+2)²]

Le résultat est bon ?