Bonjour, j'ai un exercice mais je ne comprend pas la démarche :
je note sigma : somme des i allant de 1 à n

Montrer que l'application définie sur R^n * R^n par d1(x,y) = sigma |xi - yi | avec x = (x1, ..,xn ) et y = (y1,...,yn) est une distance sur R^n

dans mon corrigé c'est écrit :
Pour tout x, y d(x,y) >= 0
1) d(x,x) = 0 car sigma |xi-xi| = 0
2) d(x,y) = sigma |xi-yi| <= sigma (|xi-zi|+|zi-yi|) = sigma |xi-zi| + sigma |zi-yi| = d(x,z) + d(z, y)

Je ne comprend pas ces deux propriétés car pour la première pourquoi d(x,x) alors que l'on veut montrer une distance entre x et y ?
et la seconde propriété, pourquoi ici on part du résultat cherché c'est à dire de d(x,y) ? (Dans un autre exercice similaire mais avec une fonction > "d(x,y) = |x-y|/(1+ |x-y|)"
on ne devait pas partir du résultat cherché c'est à dire de "d(x,y)" pour démontrer que c'est une distance par la propriété d'inégalité triangulaire.

Il faut vérifier que :
1) d(x,y) = d(y,x)
2) d(x,y) = 0 <=> x = y
3) inégalité triangulaire.

Pour l'inégalité triangulaire je vois pas le problème dans ton corrigé. Par contre pour la propriété d(x,y) = 0 <=> x = y, seul 1 sens a été montré...

Dans l'exo 1 on a d: R² --> R+ l'application définie par
d(x,y) = |x-y|/(1+ |x-y|)

et l'une des propriétés qu'on utilise pour montrer que c'est une distance sur R c'est l'inégalité triangulaire et c'est :
d(x, z) <= d(x,y) + d(y,z)

or

or dans cet exo : pour montrer que d1(x,y) = sigma |xi - yi | est une distance sur R^n l'une des propriétés c'est :
d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)

dans l'exo 1 on partait de d(x,Z) <= ...etc..
alors que dans l'exo 2 on part de d(x,Y) <= ....
etc..
pourquoi on change ?

Que tu montres d(x,y) =< d(x,z)+d(y,z) ou d(x,z) =< d(x,y) + d(y,z) c'est exactement la même chose.

l'enoncé de l'exo 1 est le suivant :
Soit d: R² --> R+ l'application définie par
d(x,y) = |x-y|/(1+ |x-y|)

Démontrer que d est une distance sur R.
indication.Pour établir l'inégalité triangulaire, on pourra utiliser la croissance de la fonction t --> t/(1+t) sur [0 , infini[

et le prof nous dit que c'est pas la bonne méthode de partir de : d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)

il faut partir de d(x, z) <= d(x,y) + d(y,z)

pourquoi ?

Si tu montres que pour tous x,y,z, d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y) l'inégalité triangulaire est démontrée.
Si tu montres que pour tous x,y,z, d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z) l'inégalité triangulaire est démontrée (normal c'est la même chose).

Donc j'ai du mal à comprendre pourquoi ton prof a dit ça...