Coucou.

- Je bloque actuellement sur un exercice de spé maths ( étant en TS spé maths ) portant sur les congruences. Voici l'énoncé :

"Trouver le reste de la division par 5 de 12^1527".

Je suis totalement bloqué. J'ai réussi à trouver que 12^1527 = 2^1527 [ 5 ] mais ça ne m'aide en rien.

- Autre exercice sur lequel je bloque ; il s'agit de démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, n^3 + 11n est divisible par 6.

L'initialisation marche, mais avec l'hérédité je tombe sur : p^3 + 3p² + 3p + 11p + 12 ( en admettant que la proposition est vraie pour un certain entier p, et démontrer ensuite que c'est valable pour p+1 ).
On sait que p^3 + 11 est divisible par 6 ( d'après l'hypothèse de récurrence ) donc no soucis. De même pour 12 ( ).

Mais comment démontrer que 3p² + 3p l'est... ? J'ai vérifié avec la calculatrice pour diverses valeurs de p et je tombe bien sur un multiple de 6...

Merci. =)

Pour le premier, petit théorème de Fermat.

Pour le deuxième, p² a la même parité que p, donc p²+p est forcément pair. Donc 3(p²+p) est divisible par 6.

Pour le premier, on n'a pas encore vu ce théorème.

Pour le second je me doutais bien qu'il fallait raisonner avec la parité mais sans pour autant y arriver, merci. =)

12=2 [5]
12^2=4 [5] <=> 12^2=-1[5]

Et là ça devient tout simple.

OK c'est bon j'ai trouvé merci !