Bonjour, je suis face a un problème :
Déterminer la convergence pour a un réel de la série de terme général :
a^(sqrt(n)).
Bon pour a>=1 pas de problème ça diverge puisque le terme général ne tends pas vers 0.
En revanche, pour a<1, je ne sais pas du tout qu'est ce que je peux en déduire. J'ai l'intuition que ça converge, vu que sous forme d'exponentielle, le ln a < 0, et racine de n étant croissante... enfin je sais pas^^'
Merci de votre aide

ln(a)<0 => V(n)*ln(a) tend vers - l'infini donc l'exponentielle de ce truc tend vers 0, je vois pas le problème

C'est la convergence de la série qui m'intéresse, pas de la suite.

Série géométrique...

Oui j'ai pensé a une série géo, mais sqrt(n) en puissance ça pose pas de pb ?

a^sqrt(n) < a^n

(dans le cas a > 1)

Ouais mais dans le cas a<1, a^sqrt(n)>a^n, et comme la série de tg a^n converge ça m'aide pas des masses^^

sinon une autre méthode trop cool

tu fais la division de 2 termes de la suite et tu montres que la division tend vers 0

euh non pas vers 0 mais vers une limite comprise strictement entre 0 et 1

Ouais, mais le rapport tend vers 1, donc on ne peut rien en déduire.

Mais la série converge bien.

Et pareil pour le critère de Cauchy ça tend vers 1 -/
La franchement ça me perturbe^^"

Pourtant, c'est très petit une exponentielle

Euh, oui peut être pourquoi ?

Par exemple, x^4*e^-x tend vers 0.
Je crois que ça suffit pour ta série :D

Tellement petit que c'est négligeable devant 1/n².

Ah donc en fait j'dis que ln(a) étant négatif,
a^(sqrt(n))~1/exp(sqrt(n))<1/n^2 et j'en profite pour glisser sous le pas de la porte que ça converge donc immanquablement ?

C'est pas du tout équivalent à 1/e^sqrt(n)
Mais le raisonnement est bon.

(désolé j'avais pas imprimé que c'était la série )

On a ln(1/a) > 0
a^sqrt(n) = exp(-ln(1/a)*sqrt(n)) = o(1/n²), et donc par principe de comparaison des séries à termes positifs, ta série converge.

Ok merci bien